Operatore ellittico

In matematica, gli operatori ellittici sono uno dei principali tipi di operatori differenziali. Essi possono essere definiti su spazi di funzioni a valori complessi o di oggetti più generali simili alle funzioni. Ciò che li distingue è che i coefficienti delle derivate di ordine massimo soddisfano una condizione di positività. Un importante esempio di operatore ellittico è il Laplaciano. Equazioni della forma:

$P u = 0 \quad$

vengono dette equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico se P è un operatore ellittico. Le usuali equazioni alle derivate parziali che coinvolgono il tempo, quali ad esempio l'equazione del calore e l'equazione di Schrödinger, contengono anche operatori ellittici che coinvolgono le variabili spaziali, così come le derivate temporali. Gli operatori ellittici sono caratteristici della teoria del potenziale. Le loro soluzioni (funzioni armoniche in genere) tendono ad essere funzioni lisce (se i coefficienti nell'operatore sono continui). Più semplicemente, soluzioni stazionarie ad equazioni iperboliche e ad equazioni paraboliche generalmente risolvono equazioni ellittiche.

Esempio: operatori del secondo ordine

A scopo esplicativo, consideriamo inizialmente operatori differenziali parziali lineare del secondo ordine della forma

$P\phi = \sum_{k,j} a_{k j} D_k D_j \phi + \sum_\ell b_\ell D_{\ell}\phi +c \phi$

dove $D_k = \frac{1}{\sqrt{-1}} \partial_{x_k}$. Tale operatore è detto ellittico se per ogni x la matrice dei coefficienti dei termini di ordine massimo

$\begin{bmatrix} a_{1 1}(x) & a_{1 2}(x) & \cdots & a_{1 n}(x) \\ a_{2 1}(x) & a_{2 2}(x) & \cdots & a_{2 n}(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1}(x) & a_{n 2}(x) & \cdots & a_{n n}(x) \end{bmatrix}$

è una matrice simmetrica reale definita positiva. In particolare, per ogni vettore non-nullo:

$\vec{\xi} = (\xi_1, \xi_2, \ldots , \xi_n)$

vale la seguente condizione di ellitticità:

$\sum_{k,j} a_{k j}(x) \xi_k \xi_j > 0. \quad$

Per molti impieghi, tale condizione non è sufficientemente forte e dev'essere quindi sostituita da una condizione di ellitticità uniforme:

$\sum_{k,j} a_{k j}(x) \xi_k \xi_j > C |\xi|^2\,$

dove C è una costante positiva.

Esempio. L'opposto del Laplaciano in Rⁿ dato da

$- \Delta = \sum_{\ell=1}^n D_\ell^2$

è un operatore uniformemente ellittico.

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