Equazione differenziale lineare

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In matematica, un'equazione differenziale lineare è un'equazione differenziale, ordinaria o alle derivate parziali, tale che combinazione lineari delle sue soluzioni possono essere usate per ottenere altre soluzioni.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Un'equazione differenziale lineare ha la forma:

 Ly = f

dove L è un operatore differenziale lineare, y la funzione incognita (che si suppone derivabile n volte) e f una funzione della stessa natura di y detta sorgente. Se esse dipendono dalla variabile t si scrive:

 L [y(t)] = f(t)

e L può essere scritto come:

L_n(y) \equiv \frac{d^n y}{dt^n} + A_1(t)\frac{d^{n-1}y}{dt^{n-1}} + \cdots + A_{n-1}(t)\frac{dy}{dt} + A_n(t)y

oppure nella forma:

 L_n(y) \equiv \left[\,D^n  + A_{1}(t)D^{n-1} + \cdots + A_{n-1}(t) D  + A_n(t)\right] y

dove D = d/dt e A_i sono funzioni date.

Si dice che un'equazione di questo tipo ha ordine n, ossia ordine pari all'ordine della più alta derivata della funzione incognita y presente. Nel caso in cui si abbia f=0 l'equazione è omogenea. Quando le funzioni A_i sono semplicemente dei numeri l'equazione è detta a coefficienti costanti.

Equazioni ordinarie del primo ordine[modifica | modifica sorgente]

Questo tipo di equazione assume la forma canonica:

y'=f(x,y)

dove f è una funzione lineare in y. Nel caso in cui:

y'=f(x)

la soluzione si trova immediatamente tramite integrazione:

y= \int f(x) dx = F(x)+c

con F(x) una primitiva di f(x). Dato allora il problema di Cauchy:

\begin{cases} y' = f(x) \\ y(x_0) = y_0 \end{cases}

la sua unica soluzione è data da:

y = \int_{x_0}^{x} f(t) dt + y_0

Omogenea a coefficienti costanti[modifica | modifica sorgente]

L'equazione omogenea a coefficienti costanti è del tipo:

y' + a y =0

dove a è una costante. La soluzione generale di questo caso si ottiene per separazione di variabili, ossia:

\frac{dy}{dx} = - a y

da cui:

\int_{y_0}^{y} \frac{dy}{y} = -a \int_{x_0}^{x} dx

si ha

\ln (y) - \ln (y_0) = -a \cdot (x - x_0)

e quindi:

\ln \left(\frac{y}{y_0} \right) = -a \cdot (x - x_0)

La soluzione si ottiene usando l'esponenziale:

y = y_0 \cdot e^{-a \cdot (x-x_0)}

Ricordando che il problema di Cauchy impone  y(x=x_0)=y_0, la soluzione è unica (invece che una famiglia di curve):

 y = y_0 \cdot e^{- a \cdot (x-x_0)}

Non-omogenea a coefficienti variabili[modifica | modifica sorgente]

Nel caso generale, si consideri:

 y' + a(x) \cdot y = f(x)

La corrispondente equazione omogenea:

y' + a(x) \cdot y = 0

si risolve separando le variabili:

\frac{dy}{y} = - a(x) \cdot dx

ed integrando:

\int_{y_0}^{y} \frac{dy}{y} = - \int_{x_0}^{x} a(x) \cdot dx

da cui:

\ln y - \ln y_0 = - (A(x)-A(x_0))

dove A(x) è una primitiva della funzione a(x). La soluzione dell'omogenea è:

y = y_0 \cdot e^{-{(A(x) - A(x_0))}}

Anche in questo caso il problema di Cauchy:

y(x=x_0)=y_0

ha soluzione unica.

Per trovare una soluzione della non omogenea, la si cerca nella forma:

y = u(x) \cdot e^{-A(x)}

dove u(x) è una funzione da determinare. Sostituendola nella precedente ed eseguendo le derivate:

u'(x) \cdot e^{-A(x)} - a(x) u(x) \cdot e^{-A(x)} + a(x) u(x) \cdot e^{-A(x)} = f(x)

Semplificando si ha:

u'(x) = f(x) \cdot e^{A(x)}

dalla quale è sufficiente integrare per trovare:

u(x) = \int_{x_0}^{x} f(t) e^{A(t)} dt + u_0

dove u_0 è una costante non nota che si può porre uguale a zero senza perdere in generalità. La soluzione generale è dunque:

y(x) = y_0 \cdot e^{(A(x_0) - A(x))} +e^{-A(x)}  \int_{x_0}^{x} f(t) e^{A(t)} dt

Dato il problema di Cauchy associato, si può avere una ed una sola soluzione nell'intervallo di definizione di x:

y(x) = y_0 \cdot e^{(A(x_0) - A(x))} + e^{-A(x)} \int_{x_0}^{x} f(t) e^{A(t)} dt

Si tratta della soluzione generale delle equazioni differenziali lineari del primo ordine. Venne trovata per la prima volta da Jean Bernoulli, il minore dei due fratelli Bernoulli.

Fattore di integrazione[modifica | modifica sorgente]

L'equazione Dy(x) + f(x) y(x) = g(x), con D operatore differenziale lineare, può essere risolta in modo equivalente moltiplicandola per il fattore di integrazione e^{\int f(x)\,dx}. Si ottiene:

 Dy(x)e^{\int f(x)\,dx}+f(x)y(x)e^{\int f(x)\,dx}=g(x)e^{\int f(x) \, dx}

che per la regola del prodotto si semplifica in:

 D (y(x)e^{\int f(x)\,dx})=g(x)e^{\int f(x)\,dx}

Integrando entrambi i membri:

 y(x)e^{\int f(x)\,dx}=\int g(x)e^{\int f(x)\,dx} \,dx+c

da cui:

 y(x) = {\int g(x)e^{\int f(x)\,dx} \,dx+c \over e^{\int f(x)\,dx}}

La soluzione di y'(x) + f(x) y(x) = g(x), sia che i coefficienti siano variabili o costanti, è dunque:

y=e^{-a(x)}\left(\int g(x) e^{a(x)}\, dx + \kappa\right)

dove \kappa è una costante d'integrazione e:

a(x)=\int{f(x)\,dx}

Una forma compatta delle soluzione generale è la seguente:

 y(x) = \int_{x_0}^{x} \! {[y(x_0) \delta(t-x_0)+g(t)] e^{-\int_t^x \!f(u)du}\, dt}

dove \delta(x) è la delta di Dirac generalizzata.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

  • Si consideri la seguente equazione differenziale:
\begin{cases} y'=x-y \\ y(2) = 5\end{cases}
Portandola in forma normale si ottiene:
y' + y = x
La soluzione generale dell'omogenea associata è:
y = y_0 \cdot e^{(x_0 -x)}
da cui:
y = 5 \cdot e^{2-x}
La soluzione dell'equazione completa viene cercata nella forma:
u(x) \cdot e^{-x}
Sostituita nell'equazione completa:
u'(x) \cdot e^{-x} - u(x) \cdot e^{-x} + u(x) \cdot e^{-x} = x
e dunque:
u'(x) \cdot e^{-x} = x
da cui si ha:
 u'(x)= x \cdot e^{x}
Integrando per parti si ottiene:
u(x)= xe^x-e^x-x_0e^{x_0}+e^{x_0}
quindi la soluzione è:
y = y_0 e^{(x_0-x)} + e^{-x}(xe^x-e^x-x_0e^{x_0}+e^{x_0})
e quindi:
 y = 4 \cdot e^{(2-x)} + x- 1
  • Si consideri:
y'= x^2 y \mbox{ con } y(1) = 2
poiché:
\int_{2}^{y} \frac{dy}{y} = \int_{1}^{x} x^2 \, dx
si ha:
\ln(y) - \ln (2) = \frac{1}{3} \cdot \left(x^3 - 1^3 \right)
cioè:
y = 2 \cdot e^{\frac{1}{3} \left(x^3 - 1 \right)}
dove se a è una costante ci si riconduce al caso descritto in precedenza.

Equazioni ordinarie di ordine generico[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Equazione differenziale lineare di ordine superiore al primo.

La soluzione generale di un'equazione ordinaria di ordine generico si ottiene dalla somma della soluzione dell'equazione omogenea più una soluzione particolare dell'equazione non omogenea, ottenuta con il metodo delle variazioni delle costanti o con il metodo dei coefficienti indeterminati. Nel caso le condizioni iniziali siano specificate, si può ottenere la soluzione particolare direttamente utilizzando la trasformata di Laplace.

Equazione omogenea a coefficienti costanti[modifica | modifica sorgente]

Si consideri:

y^{(n)} + A_{1}y^{(n-1)} + \cdots + A_{n}y = 0

Ponendo y=e^{z x}, si ha:

z^n e^{zx} + A_1 z^{n-1} e^{zx} + \cdots + A_n e^{zx} = 0

Dividendo quindi per e^{zx} si ottiene un polinomio di ordine n:

F(z) = z^{n} + A_{1}z^{n-1} + \cdots + A_n = 0

dove i termini y^{(k)} dell'equazione originale sono rimpiazzati da z^k. Sostituendo ognuna delle n soluzioni z_j del polinomio in e^{zx} si ottiene una rispettiva soluzione e^{z_i x}.

Equazione non omogenea a coefficienti costanti[modifica | modifica sorgente]

Sia data l'equazione:

\frac {d^{n}y(x)} {dx^{n}} + A_{1}\frac {d^{n-1}y(x)} {dx^{n-1}} + \cdots + A_{n}y(x) = f(x)

e si definisca il polinomio caratteristico:

P(v)=v^n+A_1v^{n-1}+\cdots+A_n

Si può trovare una base di soluzioni \{y_1(x),y_2(x),\ldots,y_n(x)\} cercando una soluzione particolare y_p(x) con il metodo delle variazioni delle costanti. Si supponga che i coefficienti della combinazione lineare siano funzione di x:

y_p(x) = u_1(x) y_1(x) + u_2(x) y_2(x) + \cdots + u_n(x) y_n(x)

Utilizzando la notazione D = d/dt, si può scrivere:

f=P(D)y_p=P(D)(u_1y_1)+P(D)(u_2y_2)+\cdots+P(D)(u_ny_n)

con i vincoli:

0=u'_1y_1+u'_2y_2+\cdots+u'_ny_n
0=u'_1y'_1+u'_2y'_2+\cdots+u'_ny'_n
 \cdots
0=u'_1y^{(n-2)}_1+u'_2y^{(n-2)}_2+\cdots+u'_ny^{(n-2)}_n

Si ha:

f=u_1P(D)y_1+u_2P(D)y_2+\cdots+u_nP(D)y_n+u'_1y^{(n-1)}_1+u'_2y^{(n-1)}_2+\cdots+u'_ny^{(n-1)}_n

ma essendo P(D)y_j=0:

f=u'_1y^{(n-1)}_1+u'_2y^{(n-1)}_2+\cdots+u'_ny^{(n-1)}_n

Tale espressione, insieme ai vincoli, costituisce un sistema lineare in {u'}_j. Utilizzando la regola di Cramer sul Wronskiano:

u'_j=(-1)^{n+j}\frac{W(y_1,\ldots,y_{j-1},y_{j+1}\ldots,y_n)_{0 \choose f}}{W(y_1,y_2,\ldots,y_n)}

ed integrando {u'}_j si risolve il sistema. La soluzione particolare non è unica, poiché anche:

y_p+c_1y_1+\cdots+c_ny_n

soddisfa la ODE per ogni insieme di costanti c_j.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) Arfken, G. "A Second Solution." §8.6 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 467-480, 1985.
  • (EN) Boyce, W. E. and DiPrima, R. C. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 4th ed. New York: Wiley, 1986.
  • (EN) Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 667-674, 1953.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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