Wronskiano

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In matematica, il wronskiano è un determinante introdotto dal matematico polacco Josef Hoene-Wronski diffusamente utilizzato nello studio d equazioni differenziali; frequentemente consente di mostrare l'indipendenza lineare di un insieme di soluzioni.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Il Wronskiano di due funzioni differenziabili f e g è W(f,g)=fg' - gf'. In generale, dato un insieme di n funzioni f_1, \dots , f_n, il Wronskiano W(f_1, \dots , f_n) è definito come:


W(f_1, \ldots, f_n) (x)=
\begin{vmatrix} 
f_1(x) & f_2(x) & \cdots & f_n(x) \\
f_1'(x) & f_2'(x) & \cdots & f_n' (x)\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
f_1^{(n-1)}(x)& f_2^{(n-1)}(x) & \cdots & f_n^{(n-1)}(x)
\end{vmatrix}\qquad x\in I

ovvero come il determinante della matrice quadrata costruita mettendo le funzioni nella prima riga, la derivata prima di ogni funzione nella seconda riga, e così fino alla derivata n-1. In una equazione differenziale lineare del secondo ordine, il wronskiano può essere calcolato facilmente con l'identità di Abel.

Indipendenza lineare[modifica | modifica wikitesto]

Il wronskiano può essere usato per determinare se un insieme di funzioni derivabili è linearmente indipendente su un dato intervallo: Se il wronskiano è diverso da zero in almeno un punto dell'intervallo, allora le funzioni associate sono linearmente indipendenti nell'intervallo. Questo è utile in molte situazioni: per esempio si può usare il wronskiano se si vuole verificare che due soluzioni di un'equazione differenziale ordinaria del secondo ordine sono indipendenti. Da notare che, se il wronskiano è uniformemente zero nell'intervallo, le funzioni possono o meno essere linearmente indipendenti, cioè il fatto che W = 0 ovunque non implica la dipendenza lineare.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

  • Si considerino le funzioni f_1(x)=x^2, f_2(x)=x e f_3(x)=1 definite per x numero reale. Calcolando il wronskiano:

W = 
\begin{vmatrix}
x^2 & x & 1 \\
2x & 1 & 0 \\
2 & 0 & 0
\end{vmatrix}
= -2
si vede che W non è uniformemente nullo, quindi queste funzioni devono essere linearmente indipendenti.
  • Si considerino le funzioni f_1(x)=2x^2+3, f_2(x)=x^2, e f_3(x)=1. Queste funzioni sono linearmente dipendenti, infatti 2x^2 + 3 = 2(x^2) + 3(1). Così il Wronskiano deve essere zero; come si può verificare nel seguente modo:

W = 
\begin{vmatrix}
2x^2 + 3 & x^2 & 1 \\
4x & 2x & 0 \\
4 & 2 & 0
\end{vmatrix}
= 8x-8x = 0
  • Come detto precedentemente, il fatto che il wronskiano sia nullo non implica in generale che le funzioni considerate sono linearmente dipendenti. Si considerino le funzioni f_1(x)=x^3 e f_2(x)=|x^3|, con | \cdot | il valore assoluto. La seconda funzione può essere scritta come:

|x^3| = \left\{
\begin{matrix}
-x^3 \qquad  x < 0 \\
x^3 \qquad  x \geq 0
\end{matrix}
\right.
È possibile verificare che queste due funzioni sono linearmente indipendenti nell'insieme dei numeri reali; tuttavia il loro wronskiano è zero:

W = \left\{
\begin{matrix}
  \begin{vmatrix}
  x^3 & -x^3 \\
  3x^2 & -3x^2
  \end{vmatrix}
= -3x^5 + 3x^5 = 0 \qquad x < 0 \\
  \begin{vmatrix}
  x^3 & x^3 \\
  3x^2 & 3x^2
  \end{vmatrix}
= 3x^5 - 3x^5 = 0 \qquad  x \geq 0
\end{matrix}
\right.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) T.M. Apostol, Mathematical analysis , Addison-Wesley (1974)
  • (EN) P. Hartman, Ordinary differential equations , Birkhäuser (1982)
  • (FR) G. Peano, "Sur le déterminant Wronskian" Mathesis , 9 (1989) pp. 75–76

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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