Wronskiano

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In matematica, il wronskiano è una funzione importante nello studio delle equazioni differenziali; deve il suo nome al matematico polacco Josef Hoene-Wronski.

Dato un insieme di n funzioni f1, ..., fn, il Wronskiano W(f1, ..., fn) è definito come:


W(f_1, \ldots, f_n) =
\begin{vmatrix} 
f_1 & f_2 & \cdots & f_n \\
f_1' & f_2' & \cdots & f_n' \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
f_1^{(n-1)} & f_2^{(n-1)} & \cdots & f_n^{(n-1)}
\end{vmatrix}

ovvero come il determinante della matrice costruita mettendo le funzioni nella prima riga, la derivata prima di ogni funzione nella seconda riga, e così fino alla derivata n-1, formando così una matrice quadrata chiamata anche matrice fondamentale.

In una equazione differenziale lineare del secondo ordine, il wronskiano può essere calcolato facilmente con l'identità di Abel.

Il wronskiano e l'indipendenza lineare[modifica | modifica sorgente]

Il wronskiano può essere usato per determinare se un insieme di funzioni derivabili è linearmente indipendente su un dato intervallo:

  • Se il wronskiano è diverso da zero in un qualsiasi punto dell'intervallo, allora le funzioni associate sono linearmente indipendenti nell'intervallo.

Questo è utile in molte situazioni. Per esempio, se vogliamo verificare che due soluzioni di una equazione differenziale ordinaria del secondo ordine sono indipendenti, possiamo usare il wronskiano. Da notare che se il wronskiano è uniformemente zero nell'intervallo, le funzioni possono o meno essere linearmente indipendenti. Un errore comune è quello di implicare, se W = 0 ovunque, la dipendenza lineare (un contro esempio è fornito successivamente). Piuttosto:

  • Se un insieme di funzioni è linearmente dipendente su un intervallo, allora il corrispondente wronskiano è uniformemente zero sull'intervallo.

Infatti le due affermazioni sono logicamente equivalenti per trasposizione, sono due affermazioni diverse della stessa verità. Una dimostrazione del teorema è data successivamente.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

  • Consideriamo le funzioni x^2, x e 1 definite per x numero reale. Calcolando il wronskiano:

W = 
\begin{vmatrix}
x^2 & x & 1 \\
2x & 1 & 0 \\
2 & 0 & 0
\end{vmatrix}
= -2.
si vede che W non è uniformemente nullo, quindi queste funzioni devono essere linearmente indipendenti.
  • Consideriamo le funzioni 2x^2+3, x^2, e 1. Queste funzioni sono chiaramente linearmente dipendenti, infatti 2x^2 + 3 = 2(x^2) + 3(1). Così il wronskiano deve essere zero; ciò è verificabile con un veloce calcolo:

W = 
\begin{vmatrix}
2x^2 + 3 & x^2 & 1 \\
4x & 2x & 0 \\
4 & 2 & 0
\end{vmatrix}
= 8x-8x = 0.
  • Come detto precedentemente, il fatto che il wronskiano sia nullo non implica in generale che le funzioni considerate sono linearmente dipendenti. Consideriamo le funzioni x^3 e |x^3|; quest'ultima è il valore assoluto di x^3. La seconda funzione può essere scritta come:

|x^3| = \left\{
\begin{matrix}
-x^3, & \mathrm{se} \; x < 0 \\
x^3, & \mathrm{se} \; x \geq 0
\end{matrix}
\right.
È possibile verificare che queste due funzioni sono linearmente indipendenti nell'insieme dei numeri reali; tuttavia il loro wronskiano è zero:

W = \left\{
\begin{matrix}
  \begin{vmatrix}
  x^3 & -x^3 \\
  3x^2 & -3x^2
  \end{vmatrix}
= -3x^5 + 3x^5 = 0, & \mathrm{se} \; x < 0 \\
  \begin{vmatrix}
  x^3 & x^3 \\
  3x^2 & 3x^2
  \end{vmatrix}
= 3x^5 - 3x^5 = 0, & \mathrm{se} \; x \geq 0
\end{matrix}
\right.

Definizione astratta[modifica | modifica sorgente]

C'è una ragione per la quale il wronskiano di una equazione differenziale lineare dell'n-esimo ordine è la sua potenza esteriore n-esima. Per capire ciò occorre considerare le equazioni lineari come spazi vettoriali.

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Il teorema è relativamente facile da dimostrare basandosi sulla seconda formulazione. Infatti, se le funzioni sono linearmente dipendenti nell'intervallo, allora lo saranno anche le colonne associate alla matrice del wronskiano (la derivata è una funzione lineare); conseguentemente il determinante del wronskiano è zero per tutti i punti dell'intervallo.

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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