Problema ai valori iniziali

In matematica, nell'ambito relativo allo studio delle equazioni differenziali, un problema ai valori iniziali è un'equazione differenziale ordinaria assieme ad un valore specifico della funzione incognita in un certo punto del dominio della soluzione, chiamato condizione iniziale. In fisica o nelle altre scienze, la modellizzazione di un sistema richiede spesso la risoluzione di un problema ai valori iniziali; in questo contesto, l'equazione differenziale descrive l'evoluzione nel tempo a seconda delle condizioni iniziali.

Definizione

Un problema ai valori iniziali è un'equazione differenziale

$y'(t) = f(t, y(t)) \quad\text{con}\quad f: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

cui è associato un punto nel dominio di f

$(t_0, y_0) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R},$

chiamato condizione iniziale.

Una soluzione di un problema ai valori iniziali è una funzione y che è soluzione dell'equazione differenziale e soddisfa la condizione

$y(t_0) = y_0.$

Questa affermazione è generale per problemi di ordine più elevato, considerando y come un vettore. Per derivate di ordine secondo o superiore, si introducono nuove variabili (elementi del vettore y).

Più in generale, la funzione incognita y può assumere valori su infiniti spazi dimensionali, come gli spazi di Banach o spazi di distribuzioni.

Esistenza e unicità della soluzione

L'esistenza ed unicità della soluzione può essere dimostrata per un'ampia tipologia di problemi ai valori iniziali.

Il teorema di Picard-Lindelöf garantisce l'esistenza di un'unica soluzione in un certo intervallo contenente t₀ se f e la sua derivata parziale $\partial f/\partial y$ sono continue in una regione contenente t₀ e y₀. La dimostrazione di questo teorema si basa sulla riformulazione del problema in una equazione integrale. L'integrale può essere considerato un operatore che "mappa" una funzione in un'altra, in modo tale che la soluzione sia un punto fisso dell'operatore. In seguito si utilizza il teorema delle contrazioni per dimostrare come esista un unico punto fisso, che è la soluzione del problema ai valori iniziali.

Esiste anche una dimostrazione più vecchia del teorema di Picard-Lindelöf, che si basa sulla costruzione di una sequenza di funzioni che convergono alla soluzione dell'equazione integrale, e quindi alla soluzione del problema ai valori iniziali. Tale costruzione viene talvolta chiamata "metodo di Picard" o "metodo ad approssimazioni successive". Questa versione è sostanzialmente un caso particolare del teorema delle contrazioni.

Hiroshi Okamura ricavò una condizione necessaria e sufficiente perché la soluzione di un problema ai valori iniziali fosse unica. Questa condizione è collegata all'esistenza di una funzione di Lyapunov per il sistema.

In alcuni casi, la funzione f non è di classe C¹, o nemmeno lipschitziana, di conseguenza non è assicurata l'esistenza locale di un'unica soluzione. Il teorema di esistenza di Peano assicura che anche per f semplicemente continua, l'esistenza delle soluzioni è garantita localmente; il problema è che non esiste garanzia dell'unicità.

Esempio

La soluzione generale di

$y'+3y=6t+5,\qquad y(0)=3 \,\!$

si può dimostrare essere

$y(t)=2e^{-3t}+2t+1. \,\!$

Infatti,

$\begin{align} y'+3y &= (d/dt)(2e^{-3t}+2t+1)+3(2e^{-3t}+2t+1) \\ &=(-6e^{-3t}+2)+(6e^{-3t}+6t+3) \\ &=6t+5. \end{align}$

Voci correlate

• Condizione al contorno
• Problema di Cauchy

Bibliografia

• Coddington, Earl A. and Levinson, Norman, Theory of ordinary differential equations, New York-Toronto-London, McGraw-Hill Book Company, Inc., 1955, xii+429.
• Hirsch, Morris W. and Smale, Stephen, Differential equations, dynamical systems, and linear algebra, New York-London, Academic Press [A subsidiary of Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], 1974, xi+358.
• Okamura, Hirosi (1942). Condition nécessaire et suffisante remplie par les équations différentielles ordinaires sans points de Peano. Mem. Coll. Sci. Univ. Kyoto Ser. A. 24: 21–28  (in French).
• Polyanin, Andrei D. and Zaitsev, Valentin F., Handbook of exact solutions for ordinary differential equations, 2nd edition, Boca Raton, FL, Chapman & Hall/CRC, 2003, xxvi+787. ISBN 1-58488-297-2
• James C. Robinson, Infinite-dimensional dynamcal systems: An introduction to dissipative parabolic PDEs and the theory of global attractors, Cambridge, Cambridge University Press, 2001, xviii+461. ISBN 0-521-63204-8