Metodo delle variazioni delle costanti

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In analisi matematica, il metodo delle variazione delle costanti o metodo di Lagrange è una procedura generale che consente di determinare l'integrale generale di un'equazione differenziale lineare di qualunque ordine e qualunque sia la funzione continua f(t) che costituisce il termine noto. Questo metodo risulta applicabile laddove si riescano a determinare n soluzioni indipendenti dell'equazione omogenea associata e delle primitive di opportune funzioni che forniscono la soluzione di un sistema.

Il metodo è qui illustrato inizialmente per equazioni del primo e del secondo ordine, e quindi generalizzato a equazioni di ordine n arbitrario. La variabile da cui dipende la funzione incognita y è chiamata in tutti gli esempi t.

Equazioni del primo ordine[modifica | modifica sorgente]

Una equazione differenziale del primo ordine in forma normale è del tipo:

y'(t) + a(t)y(t) = f(t)

Il metodo di variazione delle costanti consiste nella ricerca di soluzioni del tipo:

\displaystyle \tilde{y} = c(t)e^{-A(t)}

ottenute a partire da una soluzione dell'equazione omogenea associata:

y'(t) + a(t)y(t) = 0

del tipo:

 y(t) = ce^{-A(t)}

dove A(t) è una primitiva di a(t) e c è una costante arbitraria. Il motivo per cui il metodo si chiama così è dovuto al fatto che la costante c viene trasformata in una funzione c(t) da determinare.

Il metodo consiste essenzialmente nella sostituzione di \tilde{y} nell'equazione differenziale originaria. Per effettuare la sostituzione, è necessario calcolare innanzitutto la derivata prima, usando la regola di Leibniz:

\tilde{y}'(t) = c'(t)y(t) + c(t)y'(t)

Sostituendo quanto appena ricavato nell'equazione di partenza si ottiene:

 c'(t)y(t) + c(t)y'(t) + a(t)\tilde{y} = f(t)

da cui, sostituendo:

 c'(t)e^{-A(t)} - c(t)a(t)e^{-A(t)} + c(t)a(t)e^{-A(t)} = f(t)

Semplificando si ottiene:

 c'(t)e^{-A(t)} = f(t)

Isolando ciò che ci interessa e integrando entrambi i membri:

 c(t) = \int f(t) e^{A(t)} dt

da cui l'integrale generale dell'equazione completa è:

\tilde{y} =e^{-A(t)}\int f(t) e^{A(t)} dt

A questo punto l'unica difficoltà è il calcolo di un integrale che può non essere immediato, o addirittura, non risolvibile con metodi analitici.

Equazioni del secondo ordine[modifica | modifica sorgente]

Una equazione differenziale del secondo ordine è del tipo:

y''(t) + a(t)y'(t) + b(t)y(t) = f(t)

Il metodo di variazione delle costanti in questo caso consiste nella ricerca di soluzioni del tipo:

\displaystyle \tilde{y} = c_1 (t) y_1 (t) + c_2 (t) y_2 (t)

costruite a partire da due soluzioni y_1 (t) e  y_2 (t) dell'equazione omogenea associata:

y''(t) + a(t)y'(t) + b(t)y(t) = 0

Poiché spesso l'equazione omogenea associata è di più semplice risoluzione, questo metodo risulta essere utile in molti casi concreti.

Il metodo consiste essenzialmente nella sostituzione di \tilde{y} nell'equazione differenziale originaria. Per effettuare la sostituzione, è necessario calcolare innanzitutto la derivata prima, usando la regola di Leibniz:

\tilde{y}'(t) = c_1'(t) y_1(t) + c_2'(t) y_2(t) + c_1(t) y_1'(t) + c_2(t) y_2'(t)

Al fine di semplificare i calcoli, si impone la condizione seguente:

c_1'(t) y_1(t) + c_2'(t) y_2(t) =0

Questo fa sì che risulti:

\tilde{y}' = c_1(t) y_1'(t) + c_2(t) y_2'(t)

e di conseguenza:

 \tilde{y}''= c_1'(t) y_1'(t) + c_2'(t) y_2'(t) + c_1(t) y_1''(t) + c_2(t) y_2''(t)

Sostituendo quanto appena ricavato nell'equazione di partenza si ottiene:

 (c_1'(t) y_1'(t) + c_2'(t) y_2'(t) + c_1(t) y_1''(t) + c_2(t) y_2''(t)) + a(c_1(t) y_1'(t) + c_2(t) y_2'(t)) + b(c_1(t) y_1(t) +c_2(t) y_2(t))=f(t)

e quindi:

 c_1(t) (y_1''(t) + ay_1'(t) + by_1(t)) + c_2(t) (y_2''(t) + ay_2'(t) + by_2(t)) + (c_1'(t) y_1'(t) + c_2'(t) y_2'(t)) =f(t)

I primi due addendi sono identicamente nulli, poiché  y_1(t) e  y_2(t) sono soluzioni dell'equazione omogenea, quindi il tutto si riduce a:

 c_1'(t) y_1'(t) + c_2'(t) y_2'(t) = f(t)

Tutto ciò porta allo studio del sistema lineare di due equazioni nelle incognite  c_1' e c_2' :

 \left \{ \begin{matrix} c_1'(t) y_1(t) + c_2'(t) y_2(t) =0 \\
c_1'(t) y_1'(t) + c_2'(t) y_2'(t) = f(t) \end{matrix} \right.

Il determinante della matrice:

 \left ( \begin{matrix} y_1(t) & y_2(t) \\
y_1'(t) & y_2'(t) \end{matrix} \right )

è il wronskiano di  y_1(t) e  y_2(t) : questo è nullo se e solo se le due soluzioni sono dipendenti. Ne segue che in questo caso non è mai nullo, ed il sistema ha sempre una soluzione, data da:

 c_1'(t) = \frac{-y_2(t) f(t)}{y_2'(t) y_1(t) - y_1'(t) y_2(t)} \qquad \qquad c_2'(t) = \frac{y_1(t) f(t)}{y_2'(t) y_1(t) - y_1'(t) y_2(t)}

Integrando  c_1'(t) e  c_2'(t) si può ottenere a scelta o una soluzione particolare dell'equazione di partenza (integrando definitamente) o l'integrale generale dell'equazione di partenza (integrando indefinitamente).

Equazioni di ordine n[modifica | modifica sorgente]

Nel caso di equazioni di ordine n:

  y^{(n)}(t) + a_{n-1}(t) y^{(n-1)}(t) + \cdots + a_0(t) y(t) = f(t)

si considerano le n soluzioni indipendenti dell'equazione omogenea e si cerca una soluzione particolare dell'equazione nella forma:

 \tilde{y} = c_1 (t) y_1 (t) + c_2 (t) y_2 (t)+ \cdots + c_n (t) y_n (t)

Si risolve quindi il sistema lineare nelle n incognite  c_i' (t) :

 \left \{ \begin{array}l c_1'(t) y_1(t) + c_2'(t) y_2(t) + \cdots + c_n'(t) y_n(t) =0 \\
c_1'(t) y_1'(t) + c_2'(t) y_2'(t) + \cdots + c_n'(t) y_n'(t) = 0 \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \\
c_1'(t) y_1^{(n-2)}(t) + c_2'(t) y_2^{(n-2)}(t) + \cdots + c_n'(t) y_n^{(n-2)}(t)=0 \\
c_1'(t) y_1^{(n-1)}(t) + c_2'(t) y_2^{(n-1)}(t) + \cdots + c_n'(t) y_n^{(n-1)}(t) = f(t)

\end{array} \right.

Il determinante di questo sistema viene detto determinante wronskiano e, come sopra, si può dimostrare che è sempre non nullo a partire dall'indipendenza delle soluzioni dell'equazione omogenea. Si determinano le funzioni incognite integrando gli n termini soluzioni del sistema di cui sopra, per ricavare l'integrale generale dell'equazione.

Nello specifico, data un'equazione ordinaria lineare non omogenea:

y^{(n)}(t) + \sum_{i=0}^{n-1} a_i(t) y^{(i)}(t) = b(t)

sia y_1(t\ldots, y_n(t) un sistema fondamentale di soluzioni della corrispondente equazione omogenea:

y^{(n)}(t) + \sum_{i=0}^{n-1} a_i(t) y^{(i)}(t) = 0

Allora una soluzione particolare dell'equazione non omogenea è data da:

y_p(t) = \sum_{i=1}^{n} c_i(t) y_i(t)

dove c_i(t) sono funzioni differenziabili che si assume soddisfino le condizioni:

\sum_{i=1}^{n} c_i'(t) y_i^{(j)}(t) = 0 \qquad j = 0,\ldots, n-2

Considerando la soluzione particolare dell'equazione omogenea, differenziando ripetutamente e utilizzando le condizioni precedenti:

y_p^{(j)}(t) = \sum_{i=1}^{n} c_i(t) y_i^{(j)}(t) \qquad j=0,\ldots,n-1

Con un'ultima differenziazione si ha:

y_p^{(n)}(t)=\sum_{i=1}^n c_i'(t)y_i^{(n-1)}(t)+\sum_{i=1}^n c_i(t) y_i^{(n)}(t)

Sostituendo quindi la soluzione particolare nell'equazione di partenza e applicando le ultime due relazioni si ottiene:

\sum_{i=1}^n c_i'(t) y_i^{(n-1)}(t) = b(t)

Questa equazione e la precedente sono sistemi lineari che possono essere risolti con la regola di Cramer:

c_i'(t) = \frac{W_i(t)}{W(t)} \qquad i=1,\ldots,n

dove W(t) è il wronskiano del sistema fondamentale di soluzioni e W_i(t) è il wronskiano del sistema fondamentale con l'i-esima colonna rimpiazzata da (0, 0, \ldots, b(t)).

La soluzione particolare dell'equazione non omogenea può essere scritta come:

\sum_{i=1}^n y_i(t) \, \int \frac{W_i(t)}{W(t)} dx

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

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