Metodo delle variazioni delle costanti

In analisi matematica, il metodo delle variazione delle costanti (o di Lagrange) è un metodo generale che consente di determinare l'integrale generale di un'equazione differenziale lineare di qualunque ordine e qualunque sia la funzione continua $f(t)$ che costituisce il termine noto. Questo metodo risulta applicabile laddove si riescano a determinare n soluzioni indipendenti dell'equazione omogenea associata e delle primitive di opportune funzioni che forniscono la soluzione di un sistema.

Il metodo è qui illustrato inizialmente per equazioni del primo e del secondo ordine, e quindi generalizzato a equazioni di ordine n arbitrario. La variabile da cui dipende la funzione incognita $y$ è chiamata in tutti gli esempi $t$.

Equazioni del primo ordine

Descrizione generale

Una equazione differenziale del primo ordine in forma normale è del tipo:

$y'(t) + a(t)y(t) = f(t).\,$

Il metodo di variazione delle costanti consiste nella ricerca di soluzioni del tipo

$\displaystyle \tilde{y} = c(t)e^{-A(t)}$

ottenute a partire da una soluzione dell'equazione omogenea associata

$y'(t) + a(t)y(t) = 0.$

del tipo

$y(t) = ce^{-A(t)}$

dove $A(t)$ è una primitiva di $a(t)$ e $c$ è una costante arbitraria. Il motivo per cui il metodo si chiama così è dovuto al fatto che la costante $c$ viene trasformata in una funzione $c(t)$ da determinare.

Il metodo

Il metodo consiste essenzialmente nella sostituzione di $\tilde{y}$ nell'equazione differenziale originaria. Per effettuare la sostituzione, è necessario calcolare innanzitutto la derivata prima, usando la regola di Leibniz:

$\tilde{y}'(t) = c'(t)y(t) + c(t)y'(t).$.

Sostituendo quanto appena ricavato nell'equazione di partenza si ottiene:

$c'(t)y(t) + c(t)y'(t) + a(t)\tilde{y} = f(t)\,$

da cui, sostituendo:

$c'(t)e^{-A(t)} - c(t)a(t)e^{-A(t)} + c(t)a(t)e^{-A(t)} = f(t)\,$

Semplificando si ottiene:

$c'(t)e^{-A(t)} = f(t)$

Isolando ciò che ci interessa e integrando entrambi i membri:

$c(t) = \int f(t) e^{A(t)} dt\$

da cui l'integrale generale dell'equazione completa è:

$\tilde{y} =e^{-A(t)}\int f(t) e^{A(t)} dt\ .$

A questo punto l'unica difficoltà è il calcolo di un integrale che può non essere immediato, o addirittura, non risolvibile con metodi analitici.

Equazioni del secondo ordine

Descrizione generale

Una equazione differenziale del secondo ordine è del tipo:

$y''(t) + a(t)y'(t) + b(t)y(t) = f(t).\,$

Il metodo di variazione delle costanti in questo caso consiste nella ricerca di soluzioni del tipo:

$\displaystyle \tilde{y} = c_1 (t) y_1 (t) + c_2 (t) y_2 (t)$

costruite a partire da due soluzioni: $y_1 (t)$ e $y_2 (t)$ dell'equazione omogenea associata:

$y''(t) + a(t)y'(t) + b(t)y(t) = 0.$

Poiché spesso l'equazione omogenea associata è di più semplice risoluzione, questo metodo risulta essere utile in molti casi concreti.

Il metodo

Il metodo consiste essenzialmente nella sostituzione di $\tilde{y}$ nell'equazione differenziale originaria. Per effettuare la sostituzione, è necessario calcolare innanzitutto la derivata prima, usando la regola di Leibniz:

$\tilde{y}'(t) = c_1'(t) y_1(t) + c_2'(t) y_2(t) + c_1(t) y_1'(t) + c_2(t) y_2'(t).$

Al fine di semplificare i calcoli, si impone la condizione seguente:

$c_1'(t) y_1(t) + c_2'(t) y_2(t) =0.\,$

Questo fa sì che risulti:

$\tilde{y}' = c_1(t) y_1'(t) + c_2(t) y_2'(t)$

e di conseguenza:

$\tilde{y}''= c_1'(t) y_1'(t) + c_2'(t) y_2'(t) + c_1(t) y_1''(t) + c_2(t) y_2''(t).$

Sostituendo quanto appena ricavato nell'equazione di partenza si ottiene:

$(c_1'(t) y_1'(t) + c_2'(t) y_2'(t) + c_1(t) y_1''(t) + c_2(t) y_2''(t)) + a(c_1(t) y_1'(t) + c_2(t) y_2'(t)) + b(c_1(t) y_1(t) +c_2(t) y_2(t))=f(t)\,$

e quindi

$c_1(t) (y_1''(t) + ay_1'(t) + by_1(t)) + c_2(t) (y_2''(t) + ay_2'(t) + by_2(t)) + (c_1'(t) y_1'(t) + c_2'(t) y_2'(t)) =f(t). \,$

I primi due addendi sono identicamente nulli, poiché $y_1(t)$ e $y_2(t)$ sono soluzioni dell'equazione omogenea, quindi il tutto si riduce a:

$c_1'(t) y_1'(t) + c_2'(t) y_2'(t) = f(t) \,$

Tutto ciò porta allo studio del sistema lineare di due equazioni nelle incognite $c_1'$ e $c_2'$:

$\left \{ \begin{matrix} c_1'(t) y_1(t) + c_2'(t) y_2(t) =0 \\ c_1'(t) y_1'(t) + c_2'(t) y_2'(t) = f(t). \end{matrix} \right.$

Il determinante della matrice

$\left ( \begin{matrix} y_1(t) & y_2(t) \\ y_1'(t) & y_2'(t) \end{matrix} \right )$

è il Wronskiano di $y_1(t)$ e $y_2(t)$: questo è nullo se e solo se le due soluzioni sono dipendenti. Ne segue che in questo caso non è mai nullo, ed il sistema ha sempre una soluzione, data da:

$c_1'(t) = \frac{-y_2(t) f(t)}{y_2'(t) y_1(t) - y_1'(t) y_2(t)} \qquad \qquad c_2'(t) = \frac{y_1(t) f(t)}{y_2'(t) y_1(t) - y_1'(t) y_2(t)} \,$

Integrando $c_1'(t)$ e $c_2'(t)$ si può ottenere a scelta o una soluzione particolare dell'equazione di partenza (integrando definitamente) o l'integrale generale dell'equazione di partenza (integrando indefinitamente).

Equazioni di ordine n

$y^{(n)}(t) + a_{n-1}(t) y^{(n-1)}(t) + \cdots + a_0(t) y(t) = f(t)$

Nel caso di equazioni di ordine n, il metodo di variazione delle costanti acquista la seguente forma:

Si considerano le n soluzioni indipendenti dell'equazione omogenea:

$y_1 (t),y_2 (t),\cdots,y_n (t)$

e si cerca una soluzione particolare dell'equazione nella forma:

$\tilde{y} = c_1 (t) y_1 (t) + c_2 (t) y_2 (t)+ \cdots + c_n (t) y_n (t)$.

Si risolve il seguente sistema lineare nelle n incognite $c_i' (t)$

$\left \{ \begin{array}l c_1'(t) y_1(t) + c_2'(t) y_2(t) + \cdots + c_n'(t) y_n(t) =0 \\ c_1'(t) y_1'(t) + c_2'(t) y_2'(t) + \cdots + c_n'(t) y_n'(t) = 0 \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ c_1'(t) y_1^{(n-2)}(t) + c_2'(t) y_2^{(n-2)}(t) + \cdots + c_n'(t) y_n^{(n-2)}(t)=0 \\ c_1'(t) y_1^{(n-1)}(t) + c_2'(t) y_2^{(n-1)}(t) + \cdots + c_n'(t) y_n^{(n-1)}(t) = f(t) \end{array} \right.$

Il determinante di questo sistema viene detto determinante wronskiano e, come sopra, si può dimostrare che è sempre non nullo a partire dall'indipendenza delle soluzioni dell'equazione omogenea.

Si determinano le funzioni incognite integrando gli n termini soluzioni del sistema di cui sopra, per ricavare l'integrale generale dell'equazione.

Voci correlate

• Equazione differenziale
• Equazione differenziale lineare
• Equazione differenziale lineare del secondo ordine
• Equazione differenziale lineare di ordine superiore

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