Somma di Minkowski

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In geometria la somma di Minkowski di due insiemi di punti A e B in uno spazio vettoriale è l'insieme dei punti ottenuti addizionando gli elementi di A con quelli di B. Se lo spazio vettoriale è il piano o lo spazio euclideo, la somma è una operazione binaria tra due forme geometriche.

Questa operazione (chiamata anche dilatazione di A da parte di B) prende il nome dal matematico tedesco Hermann Minkowski, che per primo la definì, e trova applicazione nell'elaborazione e nell'analisi morfologica delle immagini (riduzione del rumore ed estrazione di forme).

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Dato uno spazio vettoriale V e due suoi sottoinsiemi A e B, la somma di Minkowski è l'insieme così definito:

A + B := \{ \mathbf{a} + \mathbf{b} \ | \mathbf{a} \in A \,, \mathbf{b} \in B \}.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Insiemi finiti di punti[modifica | modifica sorgente]

Dati due 2-simplessi (cioè due triangoli) individuati dai vertici come

{(1, 0), (0, 1), (0, -1)}

e

{(0, 0), (1, 1), (1, -1)} ,

la somma di Minkowski deve contenere tutti i punti ottenibili sommando coppie di vertici, cioè i punti

{(1, 0), (2, 1), (2, -1), (0, 1), (1, 2), (1, 0), (0, -1), (1, 0), (1, -2)},

e tutti i punti ottenibili come combinazioni convesse dei precedenti, cioè tutti i punti dell'esagono convesso che ha come vertici i punti

(0,1), (1,2), (2,1), (2,-1), (1,-2), (0,-1) .
A
B
Insieme somma A + B

Insiemi continui di punti[modifica | modifica sorgente]

La somma di Minkowski di due quadrati.

Siano dati due quadrati di lato 1, così definiti:

Q_1 = \left \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid  0 \leq x \le 1 ,\, 0 \le y \leq 1 \right \}
Q_2 = \left \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid  1 \leq x \le 2 ,\, 1 \le y \leq 2 \right \}.

Si verifica facilmente che la somma Q_3 = Q_1 + Q_2 è definita da:

Q_3 = \left \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid  1 \le x \le 3 ,\, 1 \le y \le 3 \right \}.

Se invece dei quadrati pieni, si prende solo il bordo di Q_1 o Q_2 (o di entrambi), la somma di Minkowski dà sempre il quadrato pieno Q_3 (infatti ogni punto interno si può ottenere come somma di un punto su un lato orizzontale con un punto un lato verticale).

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Per la somma di Minkowski si possono dimostrare numerose proprietà; di seguito ne vengono riportate alcune, raggruppate per tipologia; il primo gruppo è relativo alle caratteristiche algebriche dell'operazione:

Tra le proprietà geometriche possiamo invece annoverare le seguenti:

  • se entrambi gli addendi sono sottospazi vettoriali dello spazio ambiente lo è anche la loro somma;
  • se uno dei due addendi è traslato, lo è anche la somma;
  • se l'origine viene spostata, la somma viene traslata nella direzione opposta con la stessa intensità;
  • il perimetro della somma di due figure è uguale alla somma dei loro perimetri.

Infine, in alcuni casi particolari è possibile prevedere la forma della somma sulla base della forma degli addendi:

  • se i due addendi sono convessi, lo è anche la loro somma;
  • la somma di una figura e della sua simmetrica rispetto all'origine ha simmetria centrale;
  • se X = B(\mathbf{x}, r) è la palla di centro \mathbf{x} e raggio r, Y = B(\mathbf{y}, s) è la palla di centro \mathbf{y} e raggio s, la somma vale X + Y = B(\mathbf{x} + \mathbf{y}, r + s).

Altre operazioni[modifica | modifica sorgente]

Partendo dalla somma di Minkowski è possibile definire numerose operazioni derivate.

Sottrazione[modifica | modifica sorgente]

Anche se la somma di Minkowski non possiede un elemento inverso, è tuttavia possibile definire una operazione con caratteristiche simili: dato y \in Y, definiamo

X + y = X + \left \{ y \right \}.

La somma si può allora scrivere

X + Y = \bigcup_{y \in Y} \left( X + y \right).

La sottrazione di Minkowski (o erosione) è allora definita come

X - Y = \bigcap_{y \in Y} \left( X + y \right).

Chiusura e apertura[modifica | modifica sorgente]

Dilatazione ed erosione non sono inverse una dell'altra; è pertanto possibile definire le due seguenti operazioni non banali:

  • chiusura: C(X,Y) = (X + Y) - Y;
  • apertura: O(X,Y) = (X - Y) + Y.

Se Y è un cerchio, l'operazione di apertura corrisponde alla figura generata dal cerchio rotolando all'interno di X, quella di apertura al rotolare del cerchio all'esterno di X. In entrambi i casi si ottiene uno smussamento degli angoli di X.

Applicazioni[modifica | modifica sorgente]

L'addizione di Minkowski gioca un ruolo centrale nella morfologia matematica. Questo interviene nel paradigma di pennello e aste della computer grafica 2D (introdotto da Donald E. Knuth per il sistema di definizione di caratteri tipografici METAFONT), e si conforma all'operazione di movimento solido della computer grafica 3D.

L'addizione di Minkowski viene inoltre utilizzata in uno stadio della dimostrazione del teorema di Minkowski, nella forma particolare

\mathbf{C} +_{Mnk} \mathbf{C} = 2\mathbf{C}

per un insieme convesso simmetrico C che contiene 0, dove il membro sinistro denota la somma di Minkowski e il membro destro il suo ampliamento per una omotetia di un fattore 2.

Questa operazione è qualche volta chiamata la convoluzione di due insiemi. Si tratta di una dizione piuttosto inappropriata: la effettiva convoluzione delle funzioni indicatrici degli insiemi infatti è una funzione con lo stesso supporto della somma di Minkowski.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]


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