Norma matriciale

In matematica, una norma matriciale è la naturale estensione alle matrici del concetto di norma definito per i vettori.

Definizione

Una norma sullo spazio vettoriale $K^{m\times n}$ delle matrici a elementi nel campo $K$ è una funzione $\| \cdot \| : K^{m\times n} \to \R^+$ tale che, per ogni $A, B$ matrici e per ogni $\lambda$ scalare

• $\|A\|=0$ se e solo se $A=0$ (matrice nulla)
• $\|\lambda A\|=|\lambda| \|A\|$
• $\|A+B\|\leq \|A\|+\|B\|$

Si riconoscono quindi esattamente le stesse proprietà delle norme vettoriali; ciò riflette il fatto che lo spazio delle matrici è isomorfo allo spazio di vettori $K^{mn}$ (per esempio tramite l'applicazione che manda una matrice nel vettore che contiene una dopo l'altra le sue righe) e quindi una norma matriciale deve avere perlomeno le stesse proprietà di una norma vettoriale.

In più, se $m=n$, cioè le matrici sono quadrate, generalmente si chiede che venga soddisfatta anche la proprietà

• $\|A B\|\leq \|A\| \|B\|$ (sub-moltiplicatività)

Se è vera la sub-moltiplicatività si ricava subito che per la matrice identità vale $\|I\|=\|I\cdot I\|\leq \|I\|\|I\| \Rightarrow \|I\|\geq 1$

Lo spazio $K^{n\times n}$ munito di una norma sub-moltiplicativa è un esempio di algebra di Banach.

Norma indotta

Se è data una norma su $K^n$ ($K$ saranno i numeri reali o i numeri complessi), che per distinguere si indicherà con $|\cdot|$, allora è definita una norma su $K^{m\times n}$, detta norma indotta, in questo modo:

$\|A\|=\sup_{|x|=1}|Ax|=\sup_{x\ne 0}\frac{|Ax|}{|x|}$

Essa coincide con la norma della trasformazione lineare

$A: x\mapsto Ax$

associata alla matrice, vista come operatore lineare continuo tra spazi di Banach, che si dà in analisi funzionale.

Nel caso quadrato, questa norma risulta sub-moltiplicativa se viene usato lo stesso tipo di norma sia nel dominio che nel codominio. Per esempio, se per i vettori utilizziamo una delle norme p otteniamo delle norme, che si chiameranno sempre norme p, così definite

$\|A\|_p=\sup_{|x|_p=1}|Ax|_p$

Proprietà

Per una norma indotta è sempre vero che

$\|I\|=1$

e che

$|Ax|\leq \|A\| |x|$

Per una norma qualsiasi, se ciò accade allora si dice che la norma è compatibile rispetto alla norma $|\cdot|$.

Per alcuni valori particolari di $p$ si dimostra che valgono alcune identità che facilitano il calcolo:

$\|A\|_1=\max_{j=1,\ldots,n}\sum_{i=1}^m|a_{ij}|$

$\|A\|_\infty=\max_{i=1,\ldots,m}\sum_{j=1}^n|a_{ij}|$

Ne segue immediatamente che $\|A\|_1=\|A^t\|_\infty$; dunque se $A$ è simmetrica $\|A\|_1=\|A\|_\infty$. In più, se $m=n$ vale

$\|A\|_2=\sqrt {\rho (A^* A)}$

dove $A^*$ è la trasposta coniugata di $A$ (la trasposta nel caso reale) e $\rho(A^*A)$ è il raggio spettrale di $A^*A$, cioè il massimo tra i suoi autovalori in valore assoluto. Il caso $p=2$ è detto anche norma spettrale. Se $A$ è simmetrica allora l'uguaglianza si riduce a

$\|A\|_2=\rho(A)$

Vale anche sempre che

$\|A\|_2\le\sqrt{\|A\|_1\|A\|_\infty}$

Qualsiasi norma indotta soddisfa la disuguaglianza

$\|A\|\geq \rho (A)$

e inoltre vale che

$\lim_{r\to\infty}\|A^r\|^{1/r}=\rho(A)$

Altre norme

Diffuse sono anche le norme che valutano la matrice "componente per componente", cioè equiparandola al vettore delle sue elementi. Per esempio, i corrispettivi delle norme p vettoriali per le matrici, che si chiameranno sempre norme p (ma che sono distinte dalle norme p indotte), sono

$\|A\|_p=\left(\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n|a_{ij}|^p\right)^{1/p}$

In quanto sostanzialmente sono norme vettoriali, queste norme p sono sub-moltiplicative.

Come prima, il caso $p=2$ assume una certa importanza: esso viene detto anche norma di Frobenius ed è definibile anche come

$\|A\|_2=\|A\|_F=\sqrt{\mbox{tr}(A*A^T)}=\sqrt{\sum_{i=1}^{\min\{m,n\}}\sigma_i^2}$

dove $\mbox{tr}(A*A^T)$ è la traccia di $A*A^T$ e $\sigma_i$ sono i valori singolari di $A$.

Una proprietà singolare della norma di Frobenius è che se con $A_i$ indichiamo le colonne di $A$, allora vale la seguente uguaglianza:

$\|A\|_F^2=\|A_1\|_2^2+\|A_2\|_2^2+\ldots+\|A_n\|_2^2$

In certi casi si lavora anche con il quadrato della norma di Frobenius. Essendo la funzione $t^2$ crescente e convessa, anch'esso è una norma; essa prende il nome di norma di traccia e vale quindi

$\|A\|_{\mbox{tr}}=\mbox{tr}(A*A^T)=\|A\|_F^2$

Norme equivalenti

Per ogni coppia di norme matriciali $\|\cdot\|_p$ e $\|\cdot\|_q$ vale la seguente catena di disuguaglianze:

$c_1 \|A\|_p \leq \|A\|_q \leq c_2 \|A\|_p$, con $c_1, c_2 >0$

cioè le due norme sono equivalenti; esse quindi inducono la stessa topologia su $K^{m\times n}$.

Di seguito sono riportati alcuni esempi di tali costanti $c_1, c_2$ per una matrice reale:

• $\|A\|_2\le\|A\|_F\le\sqrt{n}\|A\|_2$
• $\|A\|_{max} \le\|A\|_2\le\sqrt{mn}\|A\|_{max}$
• $\frac{1}{\sqrt{n}}\|A\|_\infty\le\|A\|_2\le\sqrt{m}\|A\|_\infty$
• $\frac{1}{\sqrt{m}}\|A\|_1\le\|A\|_2\le\sqrt{n}\|A\|_1$

qua $\|A\|_\infty$ rappresenta la norma infinito indotta e $\|A\|_{\mbox{max}}$ la sua "norma uniforme", cioè il massimo dei moduli dei suoi elementi.

Voci correlate

• Spazio normato
• Autovettore e autovalore
• Operatore lineare continuo

Collegamenti esterni

• Matrix Norm su PlanetMath
• Matrix Norm su MathWorld

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