Classe traccia

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In matematica, un operatore di classe traccia o operatore nucleare è un operatore compatto per il quale può essere definita una traccia. I termini "operatore di classe traccia" e "operatore nucleare" sono generalmente equivalenti, nonostante alcuni autori utilizzino il primo termine per identificare gli operatori nucleari definiti su uno spazio di Hilbert, riservando il secondo per gli operatori definiti su un più generale spazio di Banach.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia dato un operatore lineare limitato A su uno spazio di Hilbert separabile H. Data una base ortonormale \{ \phi_n \} di H, si definisce traccia di A il numero:[1]

{\rm Tr} A:=\sum_{n}^\infty \langle A \phi_n, \phi_n \rangle

A è detto di classe traccia se la traccia del suo modulo è finita, ovvero se la somma precedente è assolutamente convergente e indipendente dalla scelta della base:[2]

{\rm Tr}|A| < \infty \

La traccia di un operatore può essere scritta in modo equivalente come la somma di termini positivi:

\|A\|_{1}= {\rm Tr}|A|:=\sum_{k} \langle (A^*A)^{1/2} \, e_k, e_k \rangle

Se H ha dimensione finita, ogni operatore è di classe traccia e la precedente somma è equivalente alla definizione di traccia di una matrice.

Un operatore A non negativo e autoaggiunto è di classe traccia se:

{\rm Tr}(A) < \infty \

Inoltre, un operatore autoaggiunto è di classe traccia se lo sono la sua parte positiva A^+ e negativa A^-.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

  • Lo spazio degli operatori di classe traccia è un *-ideale nello spazio degli operatori limitati definiti su uno spazio di Hilbert.[2] Questo significa che:
    • Lo spazio degli operatori di classe traccia è uno spazio vettoriale.
    • Se A è di classe traccia e B è un operatore limitato definito su uno spazio di Hilbert, allora AB e BA sono di classe traccia.
    • Se A è di classe traccia, lo è anche il suo aggiunto A^*.
  • Definendo la traccia come:
\|A\|_{1}= {\rm Tr}|A|
lo spazio degli operatori di classe traccia è uno spazio di Banach con norma \|A\|_{1} e \|A\| \le \|A\|_{1}.[3]
  • Un operatore di classe traccia è un operatore compatto. Viceversa, un operatore compatto è di classe traccia se e solo se:[3]
\sum_{n=1}^\infty \lambda_n \le \infty
dove i numeri \{ \lambda_n \} sono i valori singolari dell'operatore.
  • Gli operatori a rango finito sono densi nello spazio degli operatori di classe traccia rispetto alla norma \|A\|_{1}.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Reed, Simon, op. cit., Pag. 206
  2. ^ a b Reed, Simon, op. cit., Pag. 207
  3. ^ a b Reed, Simon, op. cit., Pag. 209

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0125850506.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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