Campo algebricamente chiuso

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In matematica, un campo algebricamente chiuso è un campo F in cui ogni polinomio non costante a coefficienti in F ha una radice in F (cioè un elemento x tale che il valore del polinomio in x è l'elemento neutro dell'addizione del campo).

Ad esempio, il campo dei numeri reali non è algebricamente chiuso, perché l'equazione polinomiale

3x^2 + 1 = 0

non ha soluzioni nei reali, anche se entrambi i suoi coefficienti (3 e 1) sono reali. Al contrario, il campo dei numeri complessi è algebricamente chiuso: questo è ciò che afferma il teorema fondamentale dell'algebra.

Proprietà equivalenti[modifica | modifica sorgente]

Un modo comune di esprimere il fatto che un campo F è algebricamente chiuso è attraverso la riducibilità dei suoi polinomi: F è algebricamente chiuso se e solo se ogni polinomio p(x) di grado n\geq 1 può essere decomposto come p(x)=(x-x_1)\cdots(x-x_n), dove x_1,\ldots,x_n sono elementi di F. Gli x_i sono precisamente gli elementi del campo che annullano p(x). Equivalentemente, F è algebricamente chiuso se e solo se gli unici polinomi irriducibili sono quelli lineari.

Dalla definizione segue anche che un campo è algebricamente chiuso se e solo se non possiede estensioni algebriche proprie, o se e solo se non possiede estensioni finite proprie.

Chiusura algebrica[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Chiusura algebrica.

Ogni campo F può essere incluso in un campo K algebricamente chiuso che è, in un certo senso, "il più piccolo" campo algebricamente chiuso che lo contiene: più precisamente, tale che nessun campo intermedio tra F e K è algebricamente chiuso o, equivalentemente, tale che K è algebrico su F. In questo caso, K è detto una chiusura algebrica di F: due chiusure algebriche di F sono sempre tra loro isomorfe, sebbene non sia possibile in genere stabilire un isomorfismo canonico tra due chiusure algebriche (astratte) di F. Per dimostrare questa proprietà è necessario usare il lemma di Zorn.

Ad esempio, il campo dei numeri complessi è una chiusura algebrica del campo dei numeri reali, ma non è la chiusura algebrica dei numeri razionali, che è invece il campo dei numeri algebrici.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Stefania Gabelli, Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois, Milano, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0618-8.
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