Campo algebricamente chiuso

In matematica, un campo F è detto algebricamente chiuso se ogni polinomio di grado almeno 1, a coefficienti in F, ha una radice in F (cioè un elemento x tale che il valore del polinomio in x è l'elemento neutro dell'addizione in F).

Ad esempio, il campo dei numeri reali non è algebricamente chiuso, perché l'equazione polinomiale

$3x^2 + 1 = 0$

non ha soluzioni nei reali, anche se entrambi i suoi coefficienti (3 e 1) sono reali. Al contrario, il campo dei numeri complessi è algebricamente chiuso: questo è ciò che afferma il teorema fondamentale dell'algebra.

Proprietà equivalenti

Dato un campo $F$, l'affermazione “$F$ è algebricamente chiuso” è equivalente ad ognuna delle seguenti:

• Ogni polinomio $p(x)$ di grado $n$ ≥ $1$, a coefficienti in $F$, è decomponibile in fattori lineari. In altre parole, vi sono elementi $k$, $x_1$, $x_2$, …, $x_n$ del campo $F$ tali che

$p(x)=k(x-x_1)(x-x_2)$ ··· $(x-x_n)$.

• Il campo $F$ non possiede estensioni algebriche proprie.

Entrambe le caratterizzazioni di cui sopra vengono talvolta assunte come definizione.

Altre proprietà

Ogni campo F ha una "chiusura algebrica", vale a dire il più piccolo campo algebricamente chiuso nel quale F è un sottocampo. La chiusura algebrica di ogni campo è unica a meno di isomorfismi non canonici. In particolare il campo dei numeri complessi è una chiusura algebrica del campo dei numeri reali. Inoltre, il campo dei numeri algebrici è la chiusura algebrica del campo dei numeri razionali.

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