Connessione di Levi Civita

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In geometria differenziale, la connessione di Levi Civita è, su una varietà riemanniana, l'unica connessione senza torsione che preserva la metrica. Il suo nome è dovuto a Tullio Levi Civita.

Grazie alla connessione di Levi Civita, il tensore metrico della varietà riemanniana risulta essere quindi ingrediente sufficiente per definire univocamente concetti più elaborati come derivata covariante, geodetica, trasporto parallelo.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia (M; g) una varietà riemanniana. Una connessione \nabla è di Levi Civita se valgono le proprietà seguenti[1]:

  • non ha torsione, ossia, si ha:  \nabla_XY-\nabla_YX=[X,Y]
  • preserva la metrica, cioè:
 \nabla_X (g(Y,Z))=g(\nabla_X Y,Z)+g(Y,\nabla_X Z) \, .

Ovvero, equivalentemente

 \nabla_X g=0 \, .

Entrambe le proprietà possono essere espresse usando la notazione con indici. Una connessione è di Levi Civita se in ogni carta valgono le proprietà seguenti:

 \Gamma_{ij}^k = \Gamma_{ji}^k
 \nabla_k g_{ij} = 0 \, .

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Esistenza e unicità[modifica | modifica wikitesto]

Il seguente fatto è un risultato fondamentale della geometria riemanniana.

Una varietà riemanniana o pseudo-riemanniana ha un'unica connessione di Levi Civita.

La dimostrazione di questo fatto può essere svolta nel modo seguente. I simboli di Christoffel definiscono il termine da aggiungere in una carta alla usuale derivata parziale per ottenere la derivata covariante. Per ogni connessione e in ogni carta vale quindi la relazione

\nabla_kg_{ij} = \partial_kg_{ij} - \Gamma_{ij}^hg_{hk} -\Gamma_{ik}^hg_{jh}.

Supponiamo che la connessione sia di Levi Civita. Questa quantità è quindi zero, perché si richiede che la derivata covariante della metrica sia nulla. Permutando i tre indici i,j,k in modo ciclico si ottengono tre uguaglianze. Sottraendo le ultime due uguaglianze dalla prima, e usando la simmetria dei simboli di Christoffel (la torsione è nulla) si ottiene:

 \partial_i g_{jk} - \partial_j g_{ki} - \partial_k g_{ij} + 2\Gamma^h_{jk}g_{hi} = 0.

Il simbolo di Christoffel può essere esplicitato moltiplicando questa relazione per g^{li}. Il risultato è

 \Gamma^l_{jk} = \frac 12 g^{li}(\partial_j g_{ki} + \partial_k g_{ij} - \partial_i g_{jk}).

Questo dimostra l'unicità della connessione. D'altra parte, questa uguaglianza può essere usata per definire una connessione di Levi Civita: è sufficiente verificare che una tale definizione fornisca effettivamente una connessione, e cioè che i simboli \Gamma^l_{jk} così definiti cambino al mutare delle coordinate come i simboli di Christoffel.

Innalzamento e abbassamento degli indici[modifica | modifica wikitesto]

Una connessione di Levi Civita ha delle buone proprietà rispetto all'operazione di innalzamento e abbassamento degli indici, effettuata tramite contrazione con il tensore metrico o il suo inverso. Innanzitutto, anche il tensore metrico inverso ha derivata covariante nulla:

\nabla_k g^{ij} = 0.

Inoltre la derivata covariante commuta con l'innalzamento o abbassamento degli indici. Ad esempio, se V^i è un campo vettoriale:

\nabla_k(g_{ij} V^j) = (\nabla_k g_{ij})V^j + g_{ij}(\nabla_kV^j) = g_{ij}(\nabla_kV^j).

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ G. Gentili, F. Podestà, E. Vesentini, Lezioni di geometria differenziale, Torino, Bollati Boringhieri, 1995, p. 146.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Manfredo Perdigao do Carmo, Riemannian Geometry, 1994.
  • (EN) Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Vol. 1, Wiley-Interscience, 1996 (Nuova edizione), ISBN 0-471-15733-3.
  • G. Gentili, F. Podestà, E. Vesentini, Lezioni di geometria differenziale, Torino, Bollati Boringhieri, 1995, ISBN 978-88-339-5556-8.
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