Identità di Bianchi

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Le identità di Bianchi danno le relazioni tra le derivate covarianti del tensore di curvatura di una varietà riemanniana e sono così denominate in onore del matematico italiano Luigi Bianchi. Trovano svariate applicazioni nel campi della matematica e della fisica.

Ricordiamo che, per ogni varietà riemanniana, il tensore di curvatura soddisfa le seguenti simmetrie:

R(u,v)=-R(v,u)^{}_{}
\langle R(u,v)w,z \rangle=-\langle R(u,v)z,w \rangle^{}_{}
R(u,v)w+R(v,w)u+R(w,u)v=0 ^{}_{}.

L'ultima di queste identità venne scoperta dal matematico Ricci, sebbene viene di solito chiamata prima identità di Bianchi ovvero identità algebrica di Bianchi, perché essa risulta equivalente all'identità di Bianchi sotto illustrata. (Inoltre, poiché in geometria riemanniana la torsione è nulla, la prima identità di Bianchi si riduce ad una identità differenziale per il tensore di torsione.) Queste tre identità formano una lista completa di simmetrie per il tensore di curvatura; ovvero dato un tensore che soddisfa queste identità, si può trovare almeno una varietà riemanniana con un tensore di curvatura con queste caratteristiche in qualche suo punto. Si può dimostrare (grazie a queste identità) che il tensore di curvatura di Riemann ha n^2(n^2-1)/12 componenti indipendenti.

Dalle tre identità illustrate sopra, ne deriva una ulteriore e assai utile:

\langle R(u,v)w,z \rangle=\langle R(w,z)u,v \rangle^{}_{}.

Poiché su una varietà riemanniana si può considerare la derivata covariante  \nabla_u R (nella direzione  u ) anche per il tensore di curvatura R, ne consegue che l'identità di Bianchi (sovente chiamata seconda identità di Bianchi ovvero l'identità differenziale di Bianchi) assume la seguente forma:

(\nabla_uR)(v,w)+(\nabla_vR)(w,u)+(\nabla_w R)(u,v) = 0.

Si supponga di aver scelto una carta della varietà differenziabile M, e dunque di aver scelto delle coordinate locali x^{a} sopra un aperto U della varietà riemanniana (M,g). Risulta quindi possibile esprime tutte le sopra illustrate identità in funzione delle componenti del tensore di curvatura di Riemann:

antisimmetria
R_{abcd}^{}=-R_{bacd}=-R_{abdc}
simmetria di scambio
R_{abcd}^{}=R_{cdab}
prima identità di Bianchi
R_{abcd}+R_{acdb}+R_{adbc}^{}=0
Questa si scrive spesso nella forma
R_{a[bcd]}^{}=0,
dove le parentesi quadre denotano la parte antisimmetrica operante sopra gli indici indicati. Questa risulta equivalente alla precedente poiché il tensore di Riemann è già antisimmetrico nei due suoi ultimi indici.
seconda identità Bianchi
R_{abcd;e}^{}+R_{abde;c}^{}+R_{abec;d}^{}=0
il punto e virgola denota la presenza di una derivata covariante. Equivalentemente,
R_{ab[cd;e]}^{}=0
e di nuovo si è usata l'antisimmetria nei due ultimi indici di R.


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