Varietà piatta

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In matematica, una varietà piatta è una varietà riemanniana a curvatura sezionale costantemente nulla. Gli esempi più importanti di varietà piatte in dimensione n sono lo spazio euclideo \R^n ed il toro

S^1\times\cdots\times S^1.

Una varietà in cui la curvatura sezionale è invece costantemente 1 o -1 è detta ellittica o iperbolica.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Una varietà piatta è una varietà riemanniana con curvatura sezionale ovunque nulla, indipendentemente dal punto e dal piano su cui questa è valutata.

Varietà piatte complete[modifica | modifica sorgente]

Ogni varietà piatta completa ha come rivestimento universale lo spazio euclideo \R^n, ed è quindi ottenuta da questo come spazio quoziente tramite l'azione di un gruppo G di isometrie.

Tale azione deve essere libera e propriamente discontinua. Equivalentemente, il gruppo G è un sottogruppo discreto del gruppo di isometrie di \R^n (quest'ultimo ha una topologia naturale).

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Tori[modifica | modifica sorgente]

Un toro è una varietà piatta, ma non con la metrica descritta qui in figura! La superficie qui descritta infatti ha punti con curvatura gaussiana positiva e negativa. Per dare una metrica piatta al toro è necessario immergerlo in uno spazio quadridimensionale.

L'esempio più importante di varietà piatta compatta è il toro n-dimensionale

\mathbb{T}^n = \underbrace{S^1 \times S^1 \times \cdots \times S^1}_n.

Per n=2 di ottiene l'usuale toro bidimensionale. Il toro si ottiene come quoziente dello spazio euclideo \R^n tramite il gruppo G formato da tutte le traslazioni intere:

G = \{ x\mapsto x +a\ |\ a \in\mathbf Z^n\}.

Più concretamente, la metrica sul toro è semplicemente quella indotta dall'immersione del toro dentro \R^{2n}, ottenuta come prodotto dell'immersione della circonferenza S^1 dentro \R^2.

Bottiglia di Klein[modifica | modifica sorgente]

La bottiglia di Klein è rivestita dal toro bidimensionale con un rivestimento di grado due. Tale rivestimento è una isometria, e quindi induce una metrica piatta anche sulla bottiglia di Klein.

Identificando in questo quadrato i lati opposti si ottiene un toro. La metrica piatta è quella del quadrato: questa "si incolla bene" ai bordi, poiché forma un angolo di 4*90 = 360 gradi al vertice.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Geometria locale euclidea[modifica | modifica sorgente]

Ogni punto di una varietà piatta ha un intorno isometrico ad un aperto dello spazio euclideo. Localmente, su una varietà piatta vale quindi la geometria euclidea: tale geometria può però non valere globalmente.

Teorema di Bieberbach[modifica | modifica sorgente]

Per il teorema di Bieberbach, ogni varietà piatta compatta è rivestita dal toro.

Caratteristica di Eulero[modifica | modifica sorgente]

Una varietà piatta compatta ha caratteristica di Eulero nulla. Questo fatto può essere visto come conseguenza del teorema di Bieberbach, visto che il toro ha caratteristica di Eulero nulla e i rivestimenti preservano questa proprietà.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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