Operatore di Weingarten

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In matematica, e più precisamente in geometria differenziale, l'operatore di Weingarten è una trasformazione lineare costruita a partire da una superficie contenuta nello spazio tridimensionale.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Se \Sigma è una superficie regolare ed \hat n un campo di versori normali su questa superficie, l'operatore forma o di Weingarten è un'applicazione lineare in un punto P:

W_P : T(\Sigma) \longrightarrow T(\Sigma)

tale che ad ogni curva u nel punto P sulla superficie sia associato un operatore:

W_P (u) = -\frac{\partial \hat n}{\partial u}

Esso è in verità un endomorfismo del piano tangente ed è simmetrico, cioè:

W_P (u) \cdot v = u \cdot W_P (v)

esso dunque è rappresentato da una matrice: gli invarianti di questa matrice (e quindi dell'operatore di Weingarten) hanno un significato geometrico notevole per le caratteristiche delle superfici.

Curvatura delle superfici[modifica | modifica wikitesto]

Grazie all'operatore di Weingarten possiamo esprimere la seconda forma differenziale di Gauss come:

II_G = W_P (u) \cdot v

A questo punto è possibile definire le curvature principali della superficie in un punto P come gli autovalori dell'operatore di Weingarten e, in corrispondenza di essi si trovano le direzioni principali della superficie che sono gli autovettori.

Inoltre la traccia dell'operatore di Weingarten è esattamente la curvatura media della superficie in quel punto:

H(P) =\frac{1}{2} \cdot tr(W_P)

e il suo determinante è proprio la curvatura gaussiana della superficie:

K(P) = det(W_P) = |W_P|

Operatore forma[modifica | modifica wikitesto]

L'operatore di Weingarten è un operatore forma dato per definizione:

W_P = I_{G}^{-1} \cdot II_G

in modo che il problema agli autovalori:

( II_G - k \cdot I_G ) \vec w = 0

dove I_g = \begin{bmatrix} E & F \\ F & G \end{bmatrix} e II_g = \begin{bmatrix} L & M \\ M & N \end{bmatrix}, k è l'autovalore e \vec w l'autovettore corrispondente; abbia soluzioni se si annulla il determinante:

det ( S - k \cdot \mathbb{I}) = det( I_{G}^{-1} \cdot II_{G} - k \cdot I_{G}^{-1} \cdot I_{G}) = det ( I_{G}^{-1}) \cdot det(II_{G} - k \cdot I_{G})

I due autovalori di questo determinante sono esattamente le curvature principali massima e minima della superficie in un punto P.

Il determinante di questo operatore è la curvatura di Gauss:

det (I_{G}^{-1} \cdot II_G) = \frac{det (II_G)}{det(I_G)} = \frac{LN-M^2}{EG-F^2}

La traccia di questo operatore è la curvatura media:

Tr (I_{G}^{-1} \cdot II_G) = Tr \begin{bmatrix} E & F \\ F & G \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix} L & M \\ M & N \end{bmatrix} = \frac{LG - 2 M F + E N}{EG-F^2}

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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