Rodonea

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Rodonea a 8 petali.

In geometria è detta rodonea la curva algebrica o trascendente il cui grafico è caratterizzato da una serie di avvolgimenti attorno ad un punto centrale. Nei casi più noti tali avvolgimenti producono figure a forma di rosone, da cui deriva alla curva il nome rodonea (dal greco rhódon, ròsa). La curva rodonea è chiamata anche rosa di Grandi da Luigi Guido Grandi, il matematico che la battezzò e studiò intorno al 1725.

La rodonea si può considerare un caso particolare di ipocicloide.

Equazione della curva[modifica | modifica sorgente]

L'equazione delle rodonea in coordinate polari (\rho, \theta) è:

\rho = R \sin \omega \theta,

dove R è un numero reale positivo che rappresenta la massima distanza della curva dal centro degli avvolgimenti, e \omega è un numero reale positivo che determina la forma della curva. È possibile anche scrivere la rodonea come \rho = R \cos \omega \theta, che produce una figura analoga, ma ruotata di un angolo pari a \frac{\pi}{2k} radianti.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Rodonee ottenute per valori diversi del parametro \omega = \frac{n}{d}

Se \omega è un numero intero, la curva ha un numero finito di avvolgimenti, tutti passanti per l'origine degli assi, che generano una serie di "petali" componenti la figura a forma di rosone; il numero dei petali è pari a:

  • \omega, se \omega è dispari;
  • 2 \omega, se \omega è pari.

Osserviamo che non è possibile ottenere rose con un numero di petali pari a 4n + 2. Per \omega = 1 si ottiene un unico petalo, ovvero una circonferenza non centrata nell'origine.

L'area della superficie racchiusa dalla curva è pari a \frac{\pi R^2}{2} per k pari, a \frac{\pi R^2}{4} per k dispari.

Se \omega è un numero razionale \frac{n}{d}, la curva ha un numero finito di avvolgimenti, che si intersecano in più punti creando una serie di petali parzialmente sovrapposti; nella figura a fianco sono visualizzate le rodonee ottenute per alcuni valori di n e d. Come caso particolare, per \omega = \frac{1}{2}, si ottiene il folium di Dürer.

In entrambi i casi precedenti, la curva ottenuta è algebrica; se invece \omega è un numero irrazionale, la curva è trascendente ed ha un numero infinito di avvolgimenti che non si chiudono e formano un insieme denso, passando arbitrariamente vicino a ogni punto del cerchio di raggio R.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) Rhodonea Curves in The MacTutor History of Mathematics archive, School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland. URL consultato il 16-07-2008.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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