Misura deltiforme

In teoria della misura la misura deltiforme o misura di Dirac è una misura che assume solo i valori 1 o 0. Sia $E\in X$ un insieme misurabile e $x\in X$. La misura deltiforme $\delta_x$ di $E$ è 1 se $x\in E$ e 0 altrimenti:

$\delta_x (E) = \left\{ \begin{matrix} 0, & x \not \in E; \\ 1, & x \in E. \end{matrix} \right.$

La misura deltiforme di un insieme E può anche essere scritta:

$\delta_x(E)=\int_E \,d\delta_x$

Usando la misura di Lebesgue e la funzione generalizzata delta di Dirac $\delta$ si può anche scrivere:

$\delta_x(E)=\int_E \delta(y-x)\,d\mu(y)$

In modo analogo l'integrale di una funzione f rispetto alla misura deltiforme può essere scritto:

$\int_X f(y)\,d\delta_x = \int_X f(y)\delta (y-x) \,d\mu(y) = f(x)$

Il supporto della misura deltiforme $\mu_\delta$ è il singoletto $\{x_0\}$.

Voci correlate

• Misura discreta

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