Misura deltiforme

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In teoria della misura, la misura deltiforme o misura di Dirac è una misura che assume solo i valori 1 o 0. Sia X un insieme (con una sigma algebra di suoi sottoinsiemi), E\in X un insieme misurabile e x\in X. La misura deltiforme è la misura \delta_x su X tale per cui la misura di E è 1 se x\in E e 0 altrimenti:

\delta_x (E) = \left\{ \begin{matrix} 0 & x \not \in E \\ 1 & x \in E \end{matrix} \right.

Fa la stessa cosa della funzione indicatrice.

La misura deltiforme di un insieme E può anche essere scritta:

\delta_x(E)=\int_E \,d\delta_x

Usando la misura di Lebesgue e la funzione generalizzata delta di Dirac \delta si può anche scrivere:

\delta_x(E)=\int_E \delta(y-x)\,d\mu(y)

In modo analogo l'integrale di una funzione f rispetto alla misura deltiforme può essere scritto:

\int_X f(y)\,d\delta_x = \int_X f(y)\delta (y-x) \,d\mu(y) = f(x)

Il supporto della misura deltiforme \mu_\delta è il singoletto \{x_0\}.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

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