Processo stocastico

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In matematica, e in particolare in teoria della probabilità, un processo stocastico (o processo aleatorio) è la versione probabilistica del concetto di sistema dinamico. In genere, è possibile identificare un processo stocastico come una famiglia ad un parametro di variabili casuali reali X(t) rappresentanti le trasformazioni dello stato iniziale nello stato al tempo t. In termini più precisi, un processo stocastico è una variabile casuale che prende valori in spazi più generali dei numeri reali (come ad esempio,  \R^n , o spazi funzionali, o successioni di numeri reali).

Da un punto di vista pratico, un processo stocastico è una forma di rappresentazione di una grandezza che varia nel tempo in modo casuale (ad esempio un segnale elettrico, il numero di autovetture che transitano su un ponte ecc.) e con certe caratteristiche. Facendo delle prove (osservazioni) ripetute dello stesso processo, si ottengono diversi andamenti nel tempo (realizzazioni del processo); osservando le diverse realizzazioni in un preciso istante t otteniamo una variabile aleatoria X(t) che comprende i diversi valori che il processo potrebbe assumere in quel preciso istante. Tali valori avranno un valore medio, che nel caso di variabile aleatoria gaussiana, costituiranno il valore medio della "campana" gaussiana all'istante t. Quindi per ciascun istante di tempo possiamo definire una gaussiana (o più in generale una variabile aleatoria, visto che non esistono soltanto quelle gaussiane) che rappresenti il valore più probabile del processo con il relativo indice di scostamento o deviazione standard.

Esempio introduttivo[modifica | modifica wikitesto]

Supponiamo di voler modellare matematicamente la dinamica di un punto che si muove su di una retta con una legge probabilistica. Possiamo introdurre un processo stocastico come la collezione delle variabili casuali \{S_t, t \in \R \}, dove per ogni valore della variabile tempo  t ,  S_t è semplicemente la variabile casuale (reale) che esprime la legge probabilistica del punto considerato al tempo  t. Se decidiamo di definire S_t in maniera differenziale tramite l'equazione

dS_t=-S_t dt + dW_t,

allora (S_t)_t definisce il processo di Ornstein-Uhlenbeck.

Concetti e definizioni[modifica | modifica wikitesto]

Si definisce processo stocastico una famiglia di variabili aleatorie \{X(t), t \in T \subseteq \R_+\} dipendenti dal tempo, definite su un unico spazio campione {\Omega} finito e che assumono valori in un insieme definito spazio degli stati del processo. Un processo stocastico è quindi un insieme di funzioni che evolvono nel tempo (le cosiddette funzioni campione o realizzazioni), ognuna delle quali è associata ad un determinato elemento dello spazio campione, così che il risultato di un esperimento casuale corrisponde di fatto all'estrazione di una di queste funzioni.

Fissando un istante di tempo \tilde{t}, è possibile individuare valori generalmente differenti, ognuno relativo ad una determinata realizzazione e quindi ad un elemento dello spazio campione: X(\tilde{t}) è allora una variabile aleatoria e rappresenta la "fotografia" del processo stocastico in un determinato istante, quindi, rispetto ad una semplice variabile aleatoria, esso fornisce anche un'informazione relativa all'evoluzione temporale.

Per descrivere un processo aleatorio è sufficiente utilizzare la funzione di densità di probabilità congiunta, o analogamente la funzione di distribuzione di probabilità congiunta, delle variabili aleatorie \{X(t_1),X(t_2),\ldots,X(t_n)\}.

Lo spazio della variabile tempo, cioè l'insieme T=\{t_i, i=1,2,\ldots,n\}, può essere continuo o discreto: nel primo caso si parla di processo stocastico "continuo nel tempo" (o processo stocastico tempo-continuo), mentre nel secondo caso si parla di processo stocastico "discreto nel tempo" (o processo stocastico tempo-discreto). In alternativa si usa la formulazione "processo stocastico a parametro discreto" o "continuo".

L'insieme dei valori che possono assumere le realizzazioni costituisce il suddetto spazio degli stati del processo e rappresenta le "situazioni" descritte dalle variabili casuali e indicate per esempio con s_0,s_1,s_2,\ldots. Tale insieme può essere continuo o discreto: in quest'ultimo caso, che implica la numerabilità degli stati, il processo aleatorio viene definito catena.

Se la variabile casuale è discreta allora si parla di "processo stocastico discreto", se invece è una variabile casuale continua allora si parla di "processo stocastico continuo" (sottinteso "nello spazio degli eventi").

I processi stocastici si distinguono in markoviani e non markoviani a seconda che la legge di probabilità che determina il passaggio da uno stato all'altro (probabilità di transizione) dipenda unicamente dallo stato di partenza (processo markoviano) o anche dagli stati ad esso precedenti (processo non markoviano).

Se la probabilità di transizione dipende dagli stati precedenti ma non dipende esplicitamente dal tempo t, allora si parla di processo stocastico omogeneo.

I processi stocastici ciclostazionari servono per descrivere processi generati da fenomeni periodici.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

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