Integrale di Gauss

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L'integrale di Gauss è un integrale definito, calcolato per la prima volta da Gauss. È alla base della distribuzione normale (detta pure gaussiana), mattone fondamentale della teoria della probabilità. La funzione integranda, normalizzata affinché l'area dell'integrale da -\infty a +\infty sia 1, è detta anche funzione gaussiana.

La forma solitamente usata per l'integrale di Gauss è:

\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\,dx=\sqrt{\pi}

o l'equivalente

\int_{0}^{+\infty} e^{-x^2}\,dx= \frac {\sqrt{\pi}} 2.

una generalizzazione per una generica funzione gaussiana è:

\int_{-\infty}^{+\infty}a\,e^{-b x^2 + c x + f}\,dx=a\,\sqrt{\frac{\pi}{b}}\,\exp\left(\frac{c^2}{4b} + f\right),

e per una funzione a più variabili, dove A è una matrice n\times n simmetrica definita positiva (quindi invertibile), si ha:

\int_{-\infty}^{+\infty} \exp\left( - \frac 1 2 \sum_{i,j=1}^{n}A_{ij} x_i x_j \right) \, d^nx = \sqrt{\frac{(2\pi)^n}{\det A}},

dove l'integrazione è condotta su \mathbb{R}^n.

Calcolo dell'integrale[modifica | modifica wikitesto]

Il valore dell'integrale può essere ottenuto tramite un procedimento analitico semplice.

Sia I il valore di questo integrale nell'intervallo che va da -\infty a +\infty. Allora,

I^2 = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}dx\, \int_{-\infty}^{+\infty}  e^{-y^2}dy\, = \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(x^2+y^2)}dx dy.

Si noti che si sono usati due simboli diversi, x e y, per le due variabili di integrazione, in quanto ciascuna di esse è una variabile muta. Equivalentemente si può vedere la cosa come il prodotto di due funzioni simmetriche rispetto alla retta y=x.

Tenendo a mente questa interpretazione, passando ora alle coordinate polari del piano si ha dxdy \to \rho d\rho d\theta, quindi

I^2 = \int_0^{2 \pi}d\theta\,\int_{0}^{+\infty} {\rho e^{-\rho^2} d\rho}.

Il primo integrale è immediato, per il secondo basta sostituire u a \rho^2 e \rho d\rho con \frac{du}{2}

I^2 = 2 \pi \int_0^{+\infty}  {\rho e^{-\rho^2} d\rho} = \pi \int_{0}^{+\infty} {e^{-u}du} = \pi (e^0 - e^{-\infty}) = \pi.

Dato che l'esponenziale è sempre positivo, anche I lo è, ed estraendo la radice quadrata otteniamo il risultato cercato.

Un altro integrale Gaussiano[modifica | modifica wikitesto]

Vediamo anche come ottenere la formula risolutiva per un integrale del tipo:

I = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\alpha x^2 + \beta x} dx.

Il trucco è di riscrivere il termine all'esponenziale come il termine di un quadrato:

-\alpha x^2 + \beta x = -\left(\sqrt{\alpha}x - \frac{\beta}{2\sqrt{\alpha}}\right)^2 + \frac{\beta^2}{4\alpha}.

Non abbiamo fatto altro che utilizzare una manipolazione di riscrittura algebrica (facendo i calcoli, tornerà il membro originale all'esponente). Ora basta sostituire e si ha:

I = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{\frac{\beta^2}{4\alpha} - (\sqrt{\alpha}x - \frac{\beta}{2\sqrt{\alpha}})^2} dx.

Dal momento che il primo membro dell'esponenziale non dipende da x, può essere portato fuori, in tal modo:

I =  e^{\frac{\beta^2}{4\alpha}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(\sqrt{\alpha}x - \frac{\beta}{2\sqrt{\alpha}})^2} dx.

L'integrale è immediato. Facciamo il cambio di variabile:

 y = \sqrt{\alpha}x - \frac{\beta}{2\sqrt{\alpha}},
 dy = \sqrt{\alpha} dx da cui : dx = \frac{dy}{\sqrt{\alpha}},

ottenendo immediatamente:

I = e^{\frac{\beta^2}{4\alpha}} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{-y^2}}{\sqrt{\alpha}} dy,

che è un integrale Gaussiano banale. Il risultato è immediato.

I = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} e^{\frac{\beta^2}{4\alpha}}.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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