Tronco di cono

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In geometria solida il tronco di cono è un cono al quale è stata tagliata la punta, formando un piano parallelo alla base. Qualora il piano ricavato con il taglio non sia parallelo, si parla di cono ellittico.

Formule[modifica | modifica wikitesto]

Sia T un tronco di cono d'altezza h e le cui basi hanno raggi R e r. Il volume del tronco è pari a

V = \frac 13 \pi h (R^2 + rR + r^2).

La superficie laterale Sl del tronco di cono è data dalla formula

Sl = \pi (r + R)a

dove a è l'apotema, la lunghezza del lato obliquo del tronco di cono, pari a

 a = \sqrt{h^2+(R-r)^2}.

La superficie totale del cono è data dalla formula:

St = Sl + \pi(R^2+ r^2).

Dimostrazione della formula del volume[modifica | modifica wikitesto]

È dato un tronco di cono T in cui R sia il raggio della base maggiore, r quello della minore e h l'altezza.

Si prolunghi la superficie laterale dalla parte di r fino ad ottenere il cono V1 di base in R e altezza pari a h + h2, in cui h2 è l'altezza del cono V2 con base in r. Il volume del tronco è quindi:

V_T=V_1-V_2

I triangoli di lati r e h2 e di lati h e R-r sono simili, poiché hanno tutti gli angoli uguali. Pertanto possiamo scrivere:

h:(R-r)=h_2:r

Per cui: h_2=\frac{hr}{R-r}

Partendo dalla formula del volume del cono:

V_1=\frac{ \pi R^2(h+h_2)}{3}

V_2=\frac{ \pi r^2h_2}{3}

Sostituendo in h2:

V_1=\frac{ \pi R^2h}{3} + \frac{ \pi R^2hr}{3(R-r)}

V_2=\frac{ \pi r^2hr}{3(R-r)}

Tornando alla formula iniziale:

V_T=\frac{ \pi R^2h}{3} + \frac{ \pi R^2hr}{3(R-r)}-\frac{ \pi r^2hr}{3(R-r)}

V_T=\frac{ \pi h}{3} (R^2 + \frac{R^2r}{R-r}-\frac{r^3}{R-r})

V_T=\frac{ \pi h}{3} \frac{R^3-R^2r+R^2r-r^3}{R-r}

V_T=\frac{ \pi h}{3} \frac{R^3-r^3}{R-r}

V_T=\frac{ \pi h}{3} \frac{(R-r)(R^2+r^2+Rr)}{R-r}

V_T=\frac{ \pi h}{3} (R^2+r^2+Rr)

Volume di un tronco di cono ellittico[modifica | modifica wikitesto]

La formula per calcolare il volume di un tronco di cono ellittico è la seguente:

V=\frac{\pi}{3}\left\{r^3\tan{\alpha}-AB\left[r\tan{\alpha}-h-(H-h)\left(r\sqrt{4A^2-(H-h)^2}-\frac{h\sqrt{(2A\cos{\alpha})^2-(\cos{\alpha}(H-h))^2}}{\sin{\alpha}}\right)\right]\right\} dove V è il volume del tronco di cono, r è il raggio, α è l'inclinazione dell'apotema del cono sezionato, A e B sono i semiassi dell'ellisse ottenuta dal sezionamento del cono e H e h sono rispettivamente l'altezza massima e minima del tronco di cono.

Comparazione con il cilindro[modifica | modifica wikitesto]

Un cilindro può essere pensato come un tronco di cono con basi di uguali dimensioni. Partendo quindi dalla formula del volume di un tronco di cono C per il quale il raggio R risulta anche uguale a r, si ha:

V_C=\frac{ \pi h}{3} (R^2+R^2+RR)

V_C=\frac{ \pi h}{3} (3R^2)

V_C= \pi h R^2

che è la formula del volume di un cilindro.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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