Criterio di von Mises

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Il criterio di von Mises è un criterio di resistenza relativo a materiali duttili (è quindi un criterio di snervamento), isotropi, con uguale resistenza a trazione e a compressione. Il criterio può essere fatto risalire originariamente a Maxwell (1856), che lo propose sulla base di considerazioni puramente matematico-formali. In un contesto più propriamente meccanico, il criterio è stato successivamente proposto da von Mises (1913) e, pressoché indipendentemente e in base a considerazioni diverse, anche da Huber (1904) ed Hencky (1924). A tali autori il criterio è oggi più comunemente riferito.

Secondo tale criterio, lo snervamento del materiale viene raggiunto quando l'energia di deformazione distorcente raggiunge un valore limite, intendendo per energia di deformazione distorcente di un corpo l'aliquota dell'energia di deformazione elastica legata a variazione di forma (la deformazione distorcente) ma non di volume del corpo.

Formalizzazione del criterio[modifica | modifica sorgente]

Alcune definizioni:

  • Parte deviatorica della deformazione e della tensione
\boldsymbol{\varepsilon}^{dev}=\boldsymbol{\varepsilon}- \bar{\varepsilon} \,\boldsymbol{\delta}
\;\;,\;\;
\boldsymbol{\sigma}^{dev}=\boldsymbol{\sigma}- \bar{\sigma} \,\boldsymbol{\delta}\;\;,\;\;
\boldsymbol{\delta}\; tensore identità

\bar{\varepsilon}=\frac{1}{3}\mbox{tr}\left(\boldsymbol{\varepsilon}\right)=\frac{1}{3} (\varepsilon_{11}+\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33})
\;\;,\;\;
\bar{\sigma}=\frac{1}{3}\mbox{tr}\bigl(\boldsymbol{\sigma}\bigr)=\frac{1}{3} (\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33})
La parte deviatorica della deformazione è associata ad una variazione di forma del corpo ma non di volume: corrisponde all'aliquota distorcente della deformazione.
  • Relazioni costitutive di materiali elastico-lineari e isotropi in termini dei coefficienti (\lambda,\mu\!) di Lamé

\boldsymbol{\sigma}= \lambda \,\mbox{tr}\left( \boldsymbol{\varepsilon} \right)\,\boldsymbol{\delta}+2\mu \,\boldsymbol{\varepsilon}

\boldsymbol{\sigma}^{dev}= 2\mu \,\boldsymbol{\varepsilon}^{dev}\;\;,\;\;\bar{\sigma}=(3 \lambda+2\mu)\,\bar{\varepsilon}
  • Densità di energia di deformazione per materiali elastico-lineari e isotropi

\Phi =\frac{1}{2}\,\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{\varepsilon}
=\frac{1}{2} \, \left(\frac{\boldsymbol{\sigma}^{dev}\cdot\boldsymbol{\sigma}^{dev}}{2\mu}+\frac{\bar{\sigma}^2}{3\lambda+2\mu} \right)
  • Aliquota distorcente della densità di energia di deformazione per materiali elastico-lineari e isotropi

\Phi^{dev}=\frac{1}{4\mu} \, \boldsymbol{\sigma}^{dev}\cdot\boldsymbol{\sigma}^{dev}
=\frac{1}{4\mu} \,\left( \boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{\sigma}- 3 \bar{\sigma}^2\right)
In termini delle generiche componenti \sigma_{ij} del tensore delle tensioni:

\Phi^{dev}=\frac{1}{4 \mu}\,\left(
\frac{1}{3} (\sigma_{11}-\sigma_{22})^2+\frac{1}{3}(\sigma_{11}-\sigma_{33})^2+\frac{1}{3}(\sigma_{22}-\sigma_{33})^2 + 2 (\sigma_{12}^2+\sigma_{13}^2+\sigma_{23}^2)
\right)
In termini delle tensioni principali:

\Phi^{dev}=\frac{1}{12 \mu}\,\left(
 (\sigma_{I}-\sigma_{II})^2+(\sigma_{I}-\sigma_{III})^2+(\sigma_{II}-\sigma_{III})^2
\right)

Ellisse di Von Mises[modifica | modifica sorgente]

Secondo il criterio di von Mises, la superficie limite del dominio elastico è definita dalla condizione

\Phi^{dev}
=\frac{1}{4 \mu}\,\left( \boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{\sigma}-3 \bar{\sigma}^2 \right)=k^{lim}

che particolarizzata al caso limite di tensioni monoassiale (\sigma_y è la tensione di snervamento)

\Phi^{dev}
=\frac{1}{6 \mu}\,\left( \sigma_y^2 \right)=k^{lim}

permette di tarare il parametro k^{lim} e di completare la costruzione del dominio elastico. Sulla base del criterio di von Mises, la condizione di snervamento può essere rappresentata mediante la


f(\boldsymbol{\sigma})=\frac{3}{2}\,\bigl( \boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{\sigma}-3 \bar{\sigma}^2 \bigr)-\sigma_y^2=0

espressa in componenti generiche dalla


f(\sigma_{ij})=
\frac{1}{2} (\sigma_{11}-\sigma_{22})^2+\frac{1}{2}(\sigma_{11}-\sigma_{33})^2+\frac{1}{2}(\sigma_{22}-\sigma_{33})^2 + 3 (\sigma_{12}^2+\sigma_{13}^2+\sigma_{23}^2)
 -\sigma_y^2=0

ed in termini delle tensioni principali dalla


f(\sigma_{I},\sigma_{II},\sigma_{III})
= \frac{1}{2} (\sigma_{I}-\sigma_{II})^2+\frac{1}{2}(\sigma_{I}-\sigma_{III})^2+\frac{1}{2}(\sigma_{II}-\sigma_{III})^2
 -\sigma_y^2=0

Nello spazio tridimensionale delle tensioni principali (\sigma_{I},\sigma_{II},\sigma_{III}), tale dominio corrisponde ad un cilindro a sezione circolare con asse posto nella bisettrice dell'ottante positivo. Tale cilindro circoscrive il prisma retto a base esagonale associato al criterio di Tresca.

L'intersezione del dominio di von Mises con il piano \sigma_{III}=0 descrive una curva di ellisse con centro nell'origine degli assi (\sigma_{I},\sigma_{II})


f(\sigma_{I},\sigma_{II},\sigma_{III}=0)
= \sigma_{I}^2+\sigma_{II}^2-\sigma_{I}\,\sigma_{II} -\sigma_y^2=0

Tale ellisse circoscrive l'analoga rappresentazione del dominio elastico associato al criterio di Tresca (un poligono esagonale). Ne deriva che il criterio di Tresca risulta più restrittivo. Tuttavia gli scarti non sono eccessivi ed entrambi i criteri, e specialmente il criterio di von Mises, forniscono risultati che hanno un ottimo accordo con i risultati sperimentali. La maggiore semplicità di rappresentazione del dominio elastico fornito dal criterio di von Mises ne favorisce il suo maggiore uso nella pratica, soprattutto in contesti computazionali di analisi.

Rappresentazione del criterio di von Mises nello spazio 3D delle tensioni principali
Rappresentazione del criterio di von Mises nel piano (σI, σII) delle tensioni principali

Altre interpretazioni del criterio di von Mises[modifica | modifica sorgente]

La interpretazione data del criterio di von Mises, come massimo dell'energia deviatorica, non è l'unica possibile: il criterio può avere interpretazioni diverse, ma equivalenti, nel senso che conducono alle stesse relazioni formali prima riportate. In particolare: la condizione di snervamento è raggiunta quando il secondo invariante \ J_2 della parte deviatorica del tensore delle tensioni


J_2(\boldsymbol{\sigma}^{dev}) \equiv \frac{1}{2} \left(  tr(\boldsymbol{\sigma}^{dev}\boldsymbol{\sigma}^{dev}) -(tr \,\boldsymbol{\sigma}^{dev})^2\right) = \frac{1}{2} \left(  tr(\boldsymbol{\sigma}^{dev}\boldsymbol{\sigma}^{dev}) \right)

raggiunge un valore limite

\ f(J_2) = J_2 - k^2 = 0

Questa interpretazione è possibile in vista della relazione esistente tra \ J_2 e la densita di energia di distorsione \ 
\Phi^{dev}:

\ 
\Phi^{dev} = \frac{J_2}{2\mu}

In questa accezione, lo sviluppo della teoria incrementale della plasticità sulla base della condizione di snervamento fornita dal criterio di von Mises è spesso riferito come \ J_2-plasticità o \ J_2- flow theory.

Il criterio di von Mises è anche noto come della massima tensione tangenziale ottaedrale, in quanto la relativa condizione di snervamento può essere interpretata come raggiungimento di un valore limite della tensione tangenziale ottaedrale \ \tau_{oct}, cioè la componente tangenziale della tensione sul piano ottaedrale, piano equiorientato rispetto alle tre direzioni principali. Tale interpretazione è possibile in vista della relazione esistente tra questa grandezza \ \tau_{oct} e l'invariante \ J_2

\tau_{oct} = \sqrt{\frac{2}{3}J_2}

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Laura Vergani, Meccanica dei Materiali, McGraw-Hill, Milano, 2006, ISBN 88-386-6345-9
  • Leone Corradi Dell'Acqua, Meccanica delle Strutture, vol. I, McGraw-Hill, Milano, 1992, ISBN 88-386-0665-X

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]