Legge di annullamento del prodotto

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In algebra elementare la legge di annullamento del prodotto afferma che

ab = 0 \Rightarrow a = 0 \or b = 0
(se due numeri reali danno prodotto zero allora almeno uno dei due fattori è zero.)

Si può generalizzare questo concetto in algebra astratta, nella teoria degli anelli, con enunciato pressoché uguale, ove con zero si intenderà lo zero dell'anello[1]. Un anello per cui valga tale legge prende il nome di dominio di integrità.

È possibile dimostrare che la legge di annullamento del prodotto è sicuramente verificata sui corpi, in virtù dell'esistenza dell'elemento inverso rispetto al prodotto per ogni elemento diverso da 0.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Si assuma per assurdo che esista una coppia di elementi x,y appartenenti ad un corpo K, entrambi non nulli, tali che x*y=0.

Post-moltiplicando entrambi i membri per l'elemento inverso di y e applicando le proprietà dei corpi si ottiene:

x*(y*y^{-1})=0*y^{-1} (proprietà associativa)
x*1=0
x=0, che viola l'ipotesi che entrambi gli elementi fossero non nulli.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ La proprietà inversa, ovvero che per ogni elemento x il prodotto x*0=0, fa parte delle proprietà di base degli anelli

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]


matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica