Base di Schauder

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In matematica, una base di Schauder è un'estensione del concetto di base normalmente usato in Algebra lineare.

Classicamente, infatti, tale branca della matematica si occupa di insiemi a dimensione finita dotati di struttura algebrica. In questo caso, quindi, gli elementi degli spazi vettoriali possono essere rappresentati mediante combinazioni lineari opportune di un numero finito di vettori (vettori di base) secondo alcuni coefficienti.

I vettori di base costituiscono una base di Hamel che, per le proprietà dello spazio vettoriale in questione, è anch'essa a dimensione finita. Tuttavia non sempre un insieme di vettori linearmente indipendenti e a cardinalità finita riesce ad essere una base per uno spazio vettoriale. Ciò avviene, infatti, per gli spazi vettoriali a dimensione infinita numerabile od infinita non numerabile.

Per questo motivo si utilizza una definizione più debole di base, riferendosi ad essa col nome di base di Schauder, e secondo cui un sistema di generatori è detto completo per uno spazio vettoriale V se la chiusura del suo span coincide con V. In altre parole, ciò significa che gli elementi di V o sono elementi generabili dalla base, oppure possono essere determinati come limite di una successione degli elementi dello span della base. Quindi, in questo caso, spesso si ha a che fare con somme infinite, il che rende necessario l'uso di concetti come quello di convergenza e di limite che sono usuali negli spazi topologici.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Sia V uno spazio vettoriale topologico (per esempio, uno spazio di Banach o uno spazio di Hilbert) sul campo K. Una base di Schauder è un sottoinsieme numerabile B di V, tale che ogni elemento vV può essere scritto, in un solo modo, come una serie

 v = \sum_{x \in B} a_x x

dove la sommatoria è il limite di una successione di somme parziali, dove a_x\in K è unico per ogni x \in V.

Una scrittura alternativa che mette in rilievo la numerabilità è la seguente: si scriva la base come B = \{e_n\mid n\in {\mathbb N}\}, allora

 v = \sum_{n=0}^\infty a_n e_n .

Esempio[modifica | modifica sorgente]

Un esempio di base di Schauder è la serie di serie di Fourier di una funzione in {\rm L}^2, lo spazio delle funzioni a quadrato sommabile:

 f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \cos(n x) + \sum_{n=1}^\infty b_n \sin(n x)

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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