Estremo superiore e estremo inferiore

In matematica, l'estremo superiore di un insieme E contenuto in un insieme ordinato X è il più piccolo elemento dei maggioranti di E.

In modo duale, l'estremo inferiore di E è definito come il più grande elemento dei minoranti di E.

Estremo superiore e inferiore possono appartenere ad E oppure no. Nel primo caso essi coincidono con il suo massimo e minimo. In generale il concetto di massimo e di estremo superiore non coincidono e non vanno confusi.

Il concetto di estremo superiore e inferiore sono applicabili ad ogni struttura matematica per la quale è chiaro cosa si intende per un elemento essere "maggiore o uguale" di un altro elemento. Quindi il concetto di estremo superiore si applica agli insiemi ordinati, per esempio sottoinsiemi di numeri reali, razionali, naturali, ma non per esempio di numeri complessi.

Definizione

Sia $(X,\leq)$ un insieme totalmente ordinato, $E\subseteq X$.

Se esiste un elemento $y\in X$ tale che:

• $y$ è un maggiorante di $E$
• $\nexists z \in X$ tale che $z$ è un maggiorante di $E$ e $z<y$ (vale a dire il maggiorante più piccolo è y stesso)

diciamo che $y$ è estremo superiore di $E$, in simboli $y=\sup E$.

Se invece esiste un elemento $x\in X$ tale che:

• $x$ è un minorante di $E$
• $\nexists a \in X$ tale che $a$ è un minorante di $E$ e $a>x$ (vale a dire il minorante più grande è x stesso)

diciamo che $x$ è estremo inferiore di $E$, in simboli $x=\inf E$.

Se l' insieme dei maggioranti di un insieme è non vuoto l' insieme si dice limitato superiormente, mentre se l' insieme dei minoranti è non vuoto l' insieme si dice limitato inferiormente. Ovviamente, se esiste l' estremo inferiore, l' insieme è limitato inferiormente, mentre se esiste l' estremo superiore l' insieme è limitato superiormente. Un insieme limitato superiormente e inferiormente si dice limitato.

Sottoinsiemi della retta reale

Se si considera un insieme $E\subseteq \R^*$ della retta reale estesa questo ha sicuramente estremo superiore e estremo inferiore.

Questo è garantito dall' assioma di Dedekind che garantisce che ogni sottoinsieme non vuoto di $\mathbb{R}$ è completo e dalla convenzione che, se $E$ non è limitato superiormente (inferiormente) in $\mathbb{R}$, si dice che il suo estremo superiore (inferiore) è infinito: $\sup E=+\infty$ e/o $\inf E=-\infty$.

Esempi

Gli insiemi seguenti sono da considerarsi come sottoinsiemi dell'insieme dei numeri reali.

• $\sup\{1,2,3\} = 3$

In questo caso l'estremo superiore coincide col massimo. 3 è l'estremo superiore perché è un maggiorante dell'insieme, e ogni numero reale minore di 3 non è maggiorante dell'insieme;

• $\inf \{ x \in \mathbb{R} : 0 < x < 1 \}=\inf (0,1)=0$

L'insieme ha estremo inferiore, ma non ha minimo, infatti 0 non appartiene all'insieme;

• $\sup \{ x \in \mathbb{R} : 0 \leq x \leq 1 \}=\sup [0,1]=1$

L'insieme ha estremo superiore e massimo coincidenti;

• $\inf \{y\in\mathbb{R}: y=1/x, x>0\}=\inf(0,\infty)=0$

Neanche in questo caso l'estremo inferiore appartiene all'insieme e l'insieme non ha minimo. Si noti che l'estremo inferiore coincide con il limite della funzione monotona $1/x$ per $x\to \infty$

• $\sup \{x\in\mathbb{Q}:x^2\leq 4\}=2$

l'estremo superiore coincide con il massimo;

• $\sup \{x\in\mathbb{Q}:x^2<4\}=2$

come prima ma l'insieme non ha massimo;

• $\sup \{x\in\mathbb{Q}:x^2\leq 2\}=\sqrt{2}$

in quest'ultimo caso l'insieme è limitato superiormente ma l'estremo superiore non coincide con il massimo, poiché l'insieme non ha massimo.

Completezza ed esistenza

Se un insieme non è completo può essere che un sottoinsieme limitato superiormente non ammetta estremo superiore. Per esempio, sia $E\subseteq\mathbb{Q}$ definito come:

$\{x\in\mathbb{Q}:x^2\leq 2\}$.

Questo insieme è sicuramente limitato superiormente poiché se $x\in\mathbb{Q}$ e $x\geq 2$, $x$ è maggiorante di $E$. L'insieme però non ha estremo superiore ($\sqrt{2}$ non appartiene a $\mathbb{Q}$). Si noti che questo esempio è diverso dall'ultimo esempio della sezione precedente, perché prima si ricercava l'estremo superiore in un insieme completo, $\mathbb{R}$, ora no. Si è dimostrato che per quanto riguarda spazi non completi esistono sottoinsiemi limitati superiormente ma che non ammettono estremo superiore.

Notazioni

Spesso si incontrano notazioni del tipo

$y=\inf_{x\in A} f(x)$

dove f è una funzione a valori reali su un dominio qualsiasi e A è un sottoinsieme del suo dominio. Questa notazione è un modo compatto per esprimere:

$y=\inf\{z=f(x), x\in A\}$

indica cioè l'estremo inferiore dell'immagine di A mediante f.

Esempi

• $\sup_{x\in\mathbb{R}} x^2 = +\infty$

infatti in questo insieme la funzione non è limitata superiormente

• $\inf_{x\in[0,1]} x^2 = 0$

e anche

• $\inf_{x\in(0,1)} x^2 = 0$

in questo caso però 0 non è il minimo dell'insieme, in quanto tale valore non esiste, come non esiste il minimo della funzione (è sul bordo del dominio)

• $\sup_{x\in\mathbb{R}} -\exp(-x)=0$
• $\sup_{x\in(-1,1)}{-x^2+1}=1$

Funzioni monotone

Come preannunciato in uno degli esempi precedenti esiste una connessione tra il concetto di estremo superiore e quello di limite. Infatti vale il seguente risultato:

Sia $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ una funzione monotona in $(a,b)$. Allora esistono

$\lim_{x\to b_-} f(x)$ e $\lim_{x\to a_+} f(x)$

e si ha (nel caso sia f non decrescente):

$\lim_{x\to b_-} f(x)=\sup_{x\in(a,b)} f(x)$ e $\lim_{x\to a_+} f(x)=\inf_{x\in(a,b)} f(x)$

con risultati speculari se f è invece non crescente.

Voci correlate

• Maggiorante e minorante
• Limite superiore e limite inferiore

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