Proiezione (geometria)

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La proiezione ortogonale di un cubo su un piano verticale.

In algebra lineare e analisi funzionale, una proiezione è una trasformazione lineare P definita da uno spazio vettoriale in sé stesso (endomorfismo) tale per cui P^2=P, ovvero applicare due volte la trasformazione fornisce lo stesso risultato che applicandola una volta sola.

Si tratta di un concetto matematico simile (e in qualche modo legato) alla proiezione cartografica.

Proiezione ortogonale[modifica | modifica wikitesto]

La trasformazione P è una proiezione ortogonale sulla retta m.

Nel piano cartesiano o nello spazio[modifica | modifica wikitesto]

In uno spazio euclideo, come ad esempio il piano cartesiano o lo spazio tridimensionale, una proiezione ortogonale su un determinato sottospazio  m (ad esempio, una retta o un piano) è una funzione  P che sposta ogni punto dello spazio su un punto di  m lungo una direzione perpendicolare ad  m .

Ad esempio, la proiezione del piano cartesiano sull'asse delle ascisse è la funzione:

 (x,y) \mapsto (x,0)

e la proiezione sulle ordinate è la funzione

 (x,y) \mapsto (0,y)

In uno spazio vettoriale[modifica | modifica wikitesto]

Se  S è un sottospazio vettoriale dello spazio euclideo  n -dimensionale  \R^n , la proiezione ortogonale su  S è definita ponendo:

 B = (\mathbf v_1,\ldots,\mathbf v_k,\mathbf v_{k+1},\ldots,\mathbf v_n)

una base ortonormale per lo spazio euclideo, i cui primi  k vettori sono una base per  S . Scrivendo i vettori attraverso i vettori delle loro coordinate rispetto alla base  B , la proiezione su  S è la funzione:

 (\mathbf x_1,\ldots,\mathbf x_k,\mathbf x_{k+1},\ldots,\mathbf x_n) \mapsto (\mathbf x_1,\ldots,\mathbf x_k,0,\ldots,0)

In modo equivalente, se \mathbf v e \mathbf w sono vettori di  \R^n e {\langle , \rangle} il prodotto scalare standard, si definisce proiezione di \mathbf v lungo \mathbf w il vettore c \mathbf w, dove il numero:

c = {\langle \mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle\over\langle \mathbf{w}, \mathbf{w}\rangle}

è detto coefficiente di Fourier. I vettori \mathbf v - c\mathbf w e \mathbf w sono allora perpendicolari.[1]

Operatore e matrice di proiezione[modifica | modifica wikitesto]

Un endomorfismo  f:V\to V di uno spazio vettoriale  V è un operatore di proiezione se è idempotente, cioè se  f\circ f = f . Le proiezioni definite sopra sono tutte idempotenti.

Analogamente, una matrice quadrata  P è una matrice di proiezione se P^2 = P (dove si fa uso del prodotto fra matrici). Ad esempio:

 P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\  0 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

è una matrice di proiezione.

Questa nozione è strettamente collegata a quella di operatore di proiezione, poiché ogni matrice n\times n rappresenta un endomorfismo di \R^n . In particolare, la P appena descritta rappresenta la proiezione ortogonale sul piano orizzontale  z=0 :

 P \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
x \\ y \\  0 \end{pmatrix}

Le matrici seguenti rappresentano proiezioni ortogonali del piano  \R^2 su una retta:


\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{bmatrix} \qquad
\begin{bmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix} \qquad
\begin{bmatrix}
\cos^2 \theta & \sin \theta \cos \theta\\
\sin \theta \cos \theta & \sin^2 \theta\\
\end{bmatrix}

La matrice seguente rappresenta una proiezione non ortogonale sulla retta delle ascisse, simile alla  T descritta sopra in figura:

\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Se  P, P_1, P_2 sono operatori o matrici di proiezione, valgono le proprietà seguenti:

  •  P^n = P per ogni numero naturale  n > 0 .
  • Gli autovalori possibili di  P sono +1 e 0.
  • Se P_{1} e P_{2} "si annullano a vicenda", cioè P_{1}P_{2}= P_{2}P_{1}= 0, allora la loro somma P = P_{1} + P_{2} è ancora un operatore (o matrice) di proiezione.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ S. Lang, Pag. 152

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

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Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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