Riferimento proiettivo

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In matematica, e più precisamente in geometria proiettiva, un riferimento proiettivo è una struttura, simile a quella di base per gli spazi vettoriali, che permette di assegnare ad ogni punto di uno spazio proiettivo delle coordinate omogenee.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia \mathbb P(V) uno spazio proiettivo di dimensione  n (cioè  V ha dimensione n+1 ). Un riferimento proiettivo è una collezione di n+2 punti in \mathbb P(V)

P_0,P_1,\ldots, P_{n+1}\,\!

tali che nessun sottoinsieme di  n+1 di questi punti è contenuto in un iperpiano.

Che sia con ciò ben definito, è garantito dal cosiddetto teorema fondamentale della geometria proiettiva.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Dal riferimento alla base[modifica | modifica wikitesto]

Un riferimento proiettivo identifica una base dello spazio vettoriale  V in modo unico, a meno di un fattore moltiplicativo \lambda (da applicare a tutti i vettori della base). Tramite la base, è quindi possibile scrivere ogni vettore di  V in coordinate, e quindi ogni vettore di \mathbb P(V) in coordinate omogenee.

Più precisamente, indicando con p la proiezione

 p:V \to \mathbb P(V),\,\!

vale il fatto seguente:

Esiste una base  v_0,\ldots, v_n di  V tale che

p(v_0) = P_0, \ldots, p(v_n) = P_n,\ p(v_0+\ldots +v_n) = P_{n+1}.\,\!

Ogni altra base con questa proprietà è del tipo \lambda v_0, \ldots, \lambda v_n , per qualche \lambda in  K .

Per il loro ruolo, i punti P_0,\ldots, P_n sono detti punti fondamentali e P_{n+1} è il punto unità.

I punti fondamentali non sono sufficienti a determinare una base a meno di un solo fattore \lambda globale: per questo scopo è necessario considerare anche il punto unità.

Dalla base alle coordinate omogenee[modifica | modifica wikitesto]

Tramite la base  v_0,\ldots v_n , ogni vettore  v di  V è descrivibile tramite le sue coordinate, determinate dalla relazione

 v = a_0v_0+\ldots a_nv_n.

Le coordinate di  v sono quindi  (a_0,\ldots, a_n) . È quindi possibile assegnare alla sua proiezione  p(v) le coordinate omogenee

 [a_0,\ldots,a_n].\,\!

Il fattore di arbitrarietà  \lambda nella scelta della base non influisce nel risultato: infatti la base  \lambda v_1,\ldots, \lambda v_n fornisce le coordinate

 \left[\frac {a_0}\lambda, \ldots, \frac{a_n}\lambda\right]

equivalenti alle precedenti, poiché omogenee.

Le coordinate omogenee dei punti  P_0,\ldots, P_{n+1} risultano essere quindi rispettivamente

 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix},\ldots, \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix}

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Retta proiettiva[modifica | modifica wikitesto]

In una retta proiettiva, un sistema proiettivo necessita di tre punti distinti  P_0, P_1 e  P_2 , le cui coordinate saranno quindi rispettivamente  [1,0], [0,1] e  [1, 1] .

Piano proiettivo[modifica | modifica wikitesto]

In un piano proiettivo, un sistema proiettivo necessita di quattro punti  P_0, P_1, P_2 e  P_3 . Per ipotesi, tre di questi quattro punti non devono mai giacere su una stessa retta, cioè non devono essere allineati. Le loro coordinate saranno rispettivamente  [1,0,0] , [0,1,0],  [0,0,1] e  [1, 1, 1] .

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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