Somma fra matrici

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In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la somma fra matrici è l'operazione di addizione di due matrici A e B con m righe e n colonne. Il risultato è una nuova matrice, che si indica con (A + B), che possiede m righe ed n colonne.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

La somma di due matrici A e B con m righe ed n colonne è la matrice (A + B) definita nel modo seguente:

(A + B)_{i, j} := A_{i,j} + B_{i,j}

Nel seguente esempio si usa per semplicità m=n, ma in generale la matrice A ha m righe ed n colonne e la matrice B ha n righe ed m colonne se m è diverso da n:


  \begin{bmatrix}
    -1 & 3 & -2 \\
    1 & 0 & 0 \\
    1 & 2 & 2
  \end{bmatrix}
+
  \begin{bmatrix}
    0 & 0 & 5 \\
    2 & -5 & 0 \\
    2 & 1 & 1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    -1+0 & 3+0 & -2+5 \\
    1+2 & 0-5 & 0+0 \\
    1+2 & 2+1 & 2+1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    -1 & 3 & 3 \\
    3 & -5 & 0 \\
    3 & 3 & 3
  \end{bmatrix}

Per definire la somma fra due matrici, non è necessario che i valori presenti siano elementi in un campo, come quello dei numeri reali o complessi: è sufficiente che siano in un gruppo. Ad esempio, sommando due matrici con valori interi si ottiene un'altra matrice con valori interi.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Se i valori della matrice sono elementi di un gruppo commutativo (ad esempio, i numeri interi o un qualsiasi campo) allora la somma fra matrici è commutativa.

La somma fra matrici è usualmente combinata con la moltiplicazione per uno scalare (in cui tutti gli elementi della matrice vengono moltiplicati per lo scalare) per ottenere una qualsiasi combinazione lineare di matrici. Ad esempio, la differenza fra due matrici è realizzabile come la combinazione lineare A-B = A + (-1)B . La differenza risulta quindi definita in modo analogo alla somma, come:

(A - B)_{i, j} := A_{i,j} - B_{i,j}

Ad esempio:


  \begin{bmatrix}
    2 & 3 & 2 \\
    1 & 0 & -1
  \end{bmatrix}
-
  \begin{bmatrix}
    1 & 0 & 5 \\
    -2 & 5 & 0
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    2-1 & 3-0 & 2-5 \\
    1-(-2) & 0-5 & -1-0
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & -3 \\
    3 & -5 & -1
  \end{bmatrix}

Somma diretta[modifica | modifica wikitesto]

Un'altra operazione, usata meno frequentemente, è la somma diretta. Ogni elemento della somma diretta di due spazi vettoriali può essere rappresentato come una somma diretta di due matrici. Date due matrici A e B di forma qualsiasi, rispettivamente di dimensione m \times n e p \times q, la loro somma diretta è la matrice (m + p) \times (n + q) definita nel modo seguente:


  A \oplus B =
  \begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{bmatrix} =
  \begin{bmatrix}
     a_{11} & \cdots & a_{1n} &      0 & \cdots &      0 \\
     \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
    a_{m 1} & \cdots & a_{mn} &      0 & \cdots &      0 \\
          0 & \cdots &      0 & b_{11} & \cdots &  b_{1q} \\
     \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
          0 & \cdots &      0 & b_{p1} & \cdots &  b_{pq} 
  \end{bmatrix}

Ad esempio:


  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 2 \\
    2 & 3 & 1
  \end{bmatrix}
\oplus
  \begin{bmatrix}
    1 & 6 \\
    0 & 1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 2 & 0 & 0 \\
    2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 1 & 6 \\
    0 & 0 & 0 & 0 & 1
  \end{bmatrix}

In generale, si può scrivere la somma diretta di n matrici come:


\bigoplus_{i=1}^{n} A_{i} = \mbox{diag}( A_1, A_2, A_3, \ldots, A_n)= 
\begin{bmatrix}
      A_1  &  &  &   \\
      & A_2  &   &   \\
      &   & \ddots  &   \\
      &   &   & A_n
\end{bmatrix}

Ad esempio, la matrice delle adiacenze dell'unione disgiunta di grafi o multigrafi è la somma diretta delle loro matrici delle adiacenze.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Riley, K.F.; Hobson, M.P.; Bence, S.J. (2010). Mathematical methods for physics and engineering. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86153-3.
  • (EN) Lipschutz, S.; Lipson, M. (2009). Linear Algebra. Schaum's Outline Series. ISBN 978-0-07-154352-1.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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