Somma fra matrici

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, due matrici A e B con m righe e n colonne possono essere sommate, ed il risultato della loro addizione è una nuova matrice, che indichiamo con (A + B), con m righe ed n colonne.

Definizione

La somma di due matrici A e B con m righe ed n colonne è la matrice (A + B) definita nel modo seguente:

$(A + B)_{i, j} := A_{i,j} + B_{i,j}$

Per esempio: Nel seguente esempio si usa per semplicità m=n, ma in generale la matrice A ha m righe ed n colonne e la matrice B ha n righe ed m colonne se m è diverso da n .

$\begin{bmatrix} -1 & 3 & -2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & 5 \\ 2 & -5 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1+0 & 3+0 & -2+5 \\ 1+2 & 0-5 & 0+0 \\ 1+2 & 2+1 & 2+1 \end{bmatrix} =$

$\begin{bmatrix} -1 & 3 & 3 \\ 3 & -5 & 0 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix}$

Per definire la somma fra due matrici, non è necessario che i valori presenti siano elementi in un campo, come quello dei numeri reali o complessi: è sufficiente che siano in un gruppo. Ad esempio, sommando due matrici con valori interi si ottiene un'altra matrice con valori interi.

Proprietà

Proprietà commutativa

Se i valori della matrice sono elementi di un gruppo commutativo (ad esempio, i numeri interi, o un qualsiasi campo) allora la somma fra matrici è commutativa.

Moltiplicazione per scalare, differenza e combinazione lineare di matrici

La somma fra matrici è usualmente combinata con la moltiplicazione per uno scalare per ottenere una qualsiasi combinazione lineare di matrici. Ad esempio, la differenza fra due matrici è realizzabile come la combinazione lineare $A-B = A + (-1)B$. La differenza risulta quindi definita in modo analogo alla somma, come

$(A - B)_{i, j} := A_{i,j} - B_{i,j} \$

Ad esempio:

$\begin{bmatrix} 2 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 0 & 5 \\ -2 & 5 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2-1 & 3-0 & 2-5 \\ 1-(-2) & 0-5 & -1-0 \end{bmatrix} =$

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & -3 \\ 3 & -5 & -1 \end{bmatrix}$

Altre definizioni

Somma diretta

Un'altra operazione, usata meno frequentemente, è la somma diretta. Date due matrici A e B di forma qualsiasi, rispettivamente m × n e p × q, la somma diretta è una matrice (m + p) × (n + q) definita nel modo seguente:

$A \oplus B = \begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ a_{m 1} & \cdots & a_{mn} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & b_{11} & \cdots & b_{1q} \\ \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & b_{p1} & \cdots & b_{pq} \end{bmatrix}$

Ad esempio,

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix} \oplus \begin{bmatrix} 1 & 6 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

In generale, possiamo scrivere la somma diretta di n matrici come:

$\bigoplus_{i=1}^{n} A_{i} = \mbox{diag}( A_1, A_2, A_3, \ldots, A_n)= \begin{bmatrix} A_1 & & & \\ & A_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & A_n \end{bmatrix}.$

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