Matrice esponenziale

In algebra lineare, l'esponenziale di matrice è la funzione esponenziale di una matrice quadrata.

La matrice esponenziale compare ad esempio nella risoluzione dei sistemi lineari di equazioni differenziali. Ha quindi un'importante applicazione nella teoria dei sistemi e nella teoria dei controlli automatici.

Definizione

Sia A una matrice quadrata $n \times n$ a coefficienti reali o complessi. La matrice esponenziale di A, indicata con $e^{A}$, è una matrice quadrata $n \times n$ ottenuta con lo sviluppo in serie di potenze

$e^{A} = \sum_{k=0}^\infty \frac{A^k}{k!}$

Questa serie è sempre convergente, quindi la matrice esponenziale è ben definita. Si nota che se A è una matrice $1 \times 1$ (quindi A è un numero reale o complesso), la serie della matrice esponenziale corrisponde alla definizione formale della funzione esponenziale.

Proprietà

Siano X e Y due matrici complesse di dimensione $n \times n$ e siano a e b due numeri complessi. Si indica la matrice identità con I e la matrice nulla con 0. La matrice esponenziale soddisfa le seguenti proprietà:

• $e^0 = I$.
• $e^{aX}e^{bX} = e^{(a+b)X}$.
• $e^{X}e^{-X} = I$.
• Se $AB = BA$, allora $e^{A}e^{B} = e^{A+B}$.
• Se $Y$ è invertibile allora $e^{YXY^{-1}} = Ye^XY^{-1}$.
• $\det(e^X) = e^{\mbox{tr}(X)}.$
• $e^{X^T} = (e^X)^T$, dove $X^T$ indica la matrice trasposta di X. Ne segue che se X è una matrice simmetrica allora $e^X$ è simmetrica; inoltre se X è una Matrice antisimmetrica allora $e^X$ è una matrice ortogonale.
• $e^{X^*} = (e^X)^*$, dove $X^*$ indica la matrice trasposta coniugata di X. Ne segue che se X è una matrice hermitiana allora $e^X$ è una matrice hermitiana; inoltre se X è una matrice antihermitiana allora $e^X$ è la matrice unitaria.

Calcolo della matrice esponenziale

Per il calcolo della matrice esponenziale $e^A$ non viene utilizzata la serie di potenze dato che è costituita da una sommatoria di infiniti addendi. Utilizzando gli autovettori si ricava una serie con un numero finito di termini.

Considerando la diagonalizzabilità della matrice A si hanno due casi distinti.

Il caso di A diagonalizzabile

Se la matrice A è diagonalizzabile significa che ha n autovettori linearmente indipendenti $\vec{t_1}, \vec{t_2}, \dots ,\vec{t_n}$. Si può quindi scrivere

$\begin{matrix} A \vec{t_1} = \vec{t_1} \lambda_1 \\ A \vec{t_2} = \vec{t_2} \lambda_2 \\ \vdots \\ A \vec{t_n} = \vec{t_n} \lambda_n \end{matrix}$

Con $\vec{t_i}$ autovettore associato all'autovalore $\lambda_i$.

Si raggruppano tutti gli autovettori in un'unica matrice

$[ \begin{matrix} A \vec{t_1} & \dots & A \vec{t_n} \end{matrix}] = [ \begin{matrix} \vec{t_1} \lambda_1 & \dots & \vec{t_n} \lambda_n \end{matrix}]$

$A [ \begin{matrix} \vec{t_1} & \dots & \vec{t_n} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \vec{t_1} & \dots & \vec{t_n} \end{matrix} ] \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 & 0 & \dots \\ 0 & \lambda_2 & 0 & 0 & \dots \\ 0 & 0 & \lambda_3 & 0 & \dots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & \lambda_n \\ \end{bmatrix}$

Ponendo la matrice formata dagli autovettori pari a T e la matrice diagonale degli autovalori pari a $\Lambda$ si ottiene

$A T = T \Lambda$

Introducendo la matrice S, inversa di T, si ottengono le seguenti relazioni

$\begin{matrix} S A T = \Lambda \\ A = T \Lambda S \\ S A = \Lambda S \end{matrix}$

Dalla seconda relazione si ricava

$A^k = (T \Lambda S)^k = T \cdot \Lambda \cdot S \cdot T \cdot \Lambda \cdot S \dots = T \Lambda^k S$

Quindi

$e^{A} = \sum_{k=0}^\infty \frac{A^k}{k!} = T \left[ \sum_{k=0}^\infty \frac{\Lambda^k}{k!} \right] S = T e^\Lambda S$

Si calcola $e^\Lambda$

$e^\Lambda = \sum_{k=0}^\infty \frac{\Lambda^k}{k!} = I + \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 & \dots \\ 0 & \lambda_2 & 0 & \dots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & \lambda_n \\ \end{bmatrix} \frac{1}{1!} + \begin{bmatrix} \lambda_1^2 & 0 & 0 & \dots \\ 0 & \lambda_2^2 & 0 & \dots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & \lambda_n^2 \\ \end{bmatrix} \frac{1}{2!} + \dots =$

$= \begin{bmatrix} 1 + \frac{\lambda_1}{1!} + \frac{\lambda_1^2}{2!} + \dots & 0 & 0 & \dots \\ 0 & 1 + \frac{\lambda_2}{1!} + \frac{\lambda_2^2}{2!} + \dots & 0 & \dots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 1 + \frac{\lambda_n}{1!} + \frac{\lambda_n^2}{2!} + \dots \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} e^{\lambda_1} & 0 & 0 & \dots \\ 0 & e^{\lambda_2} & 0 & \dots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & e^{\lambda_n} \\ \end{bmatrix}$

Si considera ora l'ultima relazione precedentemente ricavata e si applica la trasposta

$S A = \Lambda S \Rightarrow (S A)^T = (\Lambda S)^T \Rightarrow A^T S^T = S^T \Lambda^T \Rightarrow A^T S^T = S^T \Lambda$

Si può quindi scrivere

$A^T [ \begin{matrix} \vec{s_1^T} & \dots & \vec{s_n^T} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \vec{s_1^T} & \dots & \vec{s_n^T} \end{matrix} ] \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 & 0 & \dots \\ 0 & \lambda_2 & 0 & 0 & \dots \\ 0 & 0 & \lambda_3 & 0 & \dots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & \lambda_n \\ \end{bmatrix}$

Si nota quindi che gli $\vec{s_n^T}$ sono autovettori sinistri di A. Si può quindi partizionare la matrice S per righe

$S = \left[ \begin{matrix} \vec{s_1^T} \\ \vec{s_2^T} \\ \vdots \\ \vec{s_n^T} \end{matrix} \right]$

In questo modo si ottiene

$e^A = [\begin{matrix} \vec{t_1} & \dots & \vec{t_n} \end{matrix} ] \begin{bmatrix} e^{\lambda_1} & 0 & \dots \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \dots & e^{\lambda_n} \\ \end{bmatrix} \left[ \begin{matrix} \vec{s_1^T} \\ \vdots \\ \vec{s_n^T} \end{matrix} \right] = \vec{t_1}e^{\lambda_1} \vec{s_1^T} + \vec{t_2}e^{\lambda_2} \vec{s_2^T} + \dots + \vec{t_n}e^{\lambda_n} \vec{s_n^T}$

In conclusione, nel caso A sia diagonalizzabile, si ha

$e^A = \sum_{k=1}^n \vec{t_k} \cdot \vec{s_k^T} \cdot e^{\lambda_k}$

con $\vec{t_k}$ autovettore destro e $\vec{s_k^T}$ autovettore sinistro, entrambi associati all'autovalore $\lambda_k$

Il caso di A non diagonalizzabile

Per approfondire, vedi forma canonica di Jordan.

Se A non è diagonalizzabile si ricorre alla forma di Jordan.

In questo caso si ha $A = T J S$, con J matrice diagonale a blocchi

$J = \begin{bmatrix} J_1 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & J_2 & 0 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & J_k \end{bmatrix}$

dove il k-esimo blocco è della forma

$J_k = \begin{bmatrix} \lambda_k & 1 & 0 & \cdots \\ 0 & \lambda_k & 1 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & 1 \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_k \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda_k & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & \lambda_k & 0 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_k \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & 1 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & 1 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix} = \Lambda_k + J_{k0}$

Le matrici $J_k$ vengono detti blocchi di Jordan.

Utilizzando il procedimento seguito nel caso di A diagonalizzabile si ottiene

$e^A = T e^J S$

dove

$e^J = \begin{bmatrix} e^{J_1} & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & e^{J_2} & 0 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & e^{J_k} \end{bmatrix}$

Si nota che il prodotto delle matrici $\Lambda_k$ e $J_{k0}$ è commutativo. Si può quindi scrivere

$e^{J_k} = e^{\lambda_k I}e^{J_{k0}}$

Si calcola ora $e^{J_{k0}}$

$e^{J_{k0}} = \sum_{k=0}^\infty \frac{J_{k0}^k}{k!}$

Si verifica facilmente che $J_{k0}^k$ si calcola spostando in alto e a destra la diagonale formata dagli 1

$J_{k0} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & \dots \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \dots \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \dots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 \end{bmatrix}, J_{k0}^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 \end{bmatrix}$

$J_{k0}^{\nu_k - 1} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & \dots & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 \end{bmatrix}, J_{k0}^{\nu_k} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 \end{bmatrix}$

Dove $\nu_k$ è la dimensione di $J_k0$. Per potenze superiori a $\nu_k$ si ha la matrice nulla.

Quindi

$e^{J_{k0}} = \sum_{k=0}^{\nu_k - 1} \frac{J_{k0}^k}{k!}$

Inoltre

$e^{\lambda_k I} = \begin{bmatrix} e^{\lambda_k} & 0 & 0 & 0 & \dots \\ 0 & e^{\lambda_k} & 0 & 0 & \dots \\ 0 & 0 & e^{\lambda_k} & 0 & \dots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 \end{bmatrix} = e^{\lambda_k}I$

Quindi il k-esimo blocco di $e^{J}$ ha la seguente espressione

$e^{J_k} = e^{\lambda_k I}e^{J_{k0}} = \sum_{k=0}^{\nu_k - 1} \frac{J_{k0}^k}{k!}e^\lambda_k$

La matrice esponenziale vale

$e^A = [\begin{matrix} T_1 & \dots & T_s \end{matrix} ] \begin{bmatrix} e^{J_1} & 0 & \dots \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \dots & e^{J_n} \\ \end{bmatrix} \left[ \begin{matrix} S_1^T \\ \vdots \\ S_s^T \end{matrix} \right] = \sum_{k=1}^s[ T_k e^{J_k}S_k^T ] = \sum_{k=1}^s \sum_{i=1}^{\nu_k - 1} \frac{T_k J_{k0}^i S_k^T}{i!}e^{\lambda_k}$

dove $T_k \in \mathbb{R}^{n \times \nu_k}$ e $S_k^T \in \mathbb{R}^{\nu_k \times n}$.

T non è costituita dagli autovettori di A. Il calcolo della matrice di trasformazione T è più complesso rispetto al caso di A diagonalizzabile.

Voci correlate

• Serie esponenziale
• Funzione di matrice
• Esponenziale di un operatore

Collegamenti esterni

• Esercizio svolto sulla forma canonica di Jordan
• Esercizi sulla forma di Jordan e sull’esponenziale di matrice

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