Operazione interna

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In matematica, un'operazione interna ad n argomenti (o n-aria) su un insieme X è una funzione che ad ogni n-uppla di X^n associa un elemento dello stesso X.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Sia X un insieme non vuoto e sia n\in\mathbb{N}. Si chiama operazione interna su X una funzione * dal prodotto cartesiano X^n a valori in X:

*:X^n \to X

Equivalentemente, sia m\in\mathbb{N}, si chiama operazione interna su X una funzione *:

*:X_1\times\ldots\times X_{m-1} \to X_m

se X_1=\ldots =X_{m-1}=X_m=X.

Se n=2, l'operazione è detta operazione binaria interna su X e l'immagine della coppia di punti (x,y) si denota preferibilmente con la notazione di operazione x*y piuttosto che con la notazione funzionale *(x,y).

Un insieme non vuoto dotato di una sola operazione interna è detto avere struttura di magma o di gruppoide.

Il motivo principale per cui può essere necessario verificare che un'arbitraria operazione * sia o meno interna su un insieme X (pure arbitrario purché non vuoto) sta nel fatto che solo se l'operazione è interna la coppia (X,*) può essere considerata come struttura algebrica. Alternativamente, si può dire che condizione necessaria affinché una coppia (X,*) sia una struttura algebrica è che l'operazione * verifichi la proprietà di chiusura su X.

Operazione esterna[modifica | modifica sorgente]

Un'operazione non interna su un insieme X si dice operazione esterna.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Operazioni interne[modifica | modifica sorgente]

L'operazione di somma usualmente denotata con + è interna sull'insieme dei numeri naturali e così pure lo è sugli interi, sui razionali, sui reali ed anche sui complessi.

Analogamente, il prodotto è operazione interna su ciascuno degli stessi insiemi.

Le operazioni di massimo comun divisore e di minimo comune multiplo sono operazioni interne sull'insieme dei numeri naturali.

Le operazione di unione ed intersezione sono interne sull'insieme delle parti di un insieme.

Il prodotto vettoriale è operazione interna sull'insieme delle terne di numeri reali:

\wedge:\R^3 \times \R^3 \to \R^3
(\vec{v},\vec{w}) \mapsto \vec{v}\wedge\vec{w}

Operazioni esterne[modifica | modifica sorgente]

Il prodotto scalare è una operazione esterna sull'insieme delle terne di numeri reali:

\cdot:\R^3 \times \R^3 \to \R
(\vec{v},\vec{w}) \mapsto \vec{v}\cdot\vec{w}

essa ha infatti valori nel campo reale su cui è definito lo spazio vettoriale \mathbb{R}^3 e non nello spazio vettoriale stesso.

Il prodotto di un vettore per uno scalare è ancora operazione esterna all'insieme delle terne di numeri reali:

\cdot:\R \times \R^3 \to \R^3
(k,\vec{v}) \mapsto k\vec{v}

in quanto se la si pensa come funzione

\cdot:A \times B \to C

si ha che anche in questo caso gli insiemi A, B e C non sono tutti e tre uguali.

Il prodotto misto:

\cdot:\R^3 \times \R^3 \times \R^3 \to \R
(\vec{v},\vec{w},\vec{z}) \mapsto \vec{v}\wedge\vec{w}\cdot\vec{z}

è infine ancora un'operazione (ternaria) esterna su \mathbb{R}^3.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Algebra, S. Mac Lane, G. Birkhoff, ed.: Mursia.

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