Forma di volume

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In geometria differenziale, una forma di volume è una particolare n-forma differenziale utile a definire una misura su una varietà differenziabile, e quindi un metodo per definire una nozione di volume all'interno di questa.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Una forma di volume su una varietà differenziabile M di dimensione n è una n-forma differenziale che non si annulla in nessun punto

In una carta locale, la forma si scrive come

\omega = \omega_x dx^1\wedge ... \wedge dx^n

dove \omega_x è un numero reale dipendente dal punto x. Per ipotesi, \omega_x\neq 0 per ogni x [1].

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Orientabilità[modifica | modifica sorgente]

Una varietà può avere una forma volume se e solo se è orientabile: questo fatto è spesso usato come definizione di orientabilità. Quindi la bottiglia di Klein ed il piano proiettivo reale non ammettono una forma volume, mentre lo spazio euclideo, la sfera di dimensione arbitraria, il toro ammettono forme volume.

Misura[modifica | modifica sorgente]

Una forma volume \omega definisce una misura sugli insiemi boreliani S di M, tramite l'integrale

\int_S\omega.\,\!

Un insieme in M è boreliano se è tale letto in ogni carta.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Una forma volume su una varietà è spesso dedotta da altre strutture.

Varietà riemanniana[modifica | modifica sorgente]

Una varietà riemanniana orientata ha una forma di volume. Su ogni spazio tangente T_x, si tratta dell'unico tensore antisimmetrico di tipo (n,0) che vale

\omega(e_1,\ldots,e_n)=1

su ogni base ortonormale (e_1,\ldots,e_n) di T_x. In una carta, si scrive come

\omega = \sqrt {\det g}\, dx^1\wedge ... \wedge dx^n

dove g è il tensore metrico, che essendo definito positivo ha determinante strettamente positivo in ogni punto.

Varietà pseudoriemanniana[modifica | modifica sorgente]

Una varietà pseudo-riemanniana orientata ha una forma di volume, definita in modo analogo, inserendo un valore assoluto:

\omega = \sqrt {|\det g|}\, dx^1\wedge ... \wedge dx^n

dove \det g\neq 0 perché g è non degenere in ogni punto.

Varietà simplettica[modifica | modifica sorgente]

Una varietà simplettica (M, \omega) ha una forma volume. La varietà ha dimensione 2n ed è dotata di una 2-forma differenziale \omega chiusa e non degenere. Si definisce forma volume simplettica, o la forma di Liouville indotta da \omega la

\Xi_{\omega}:=\frac{(-1)^{n(n-1)/2}}{n!}\wedge^n\omega

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Il valore puntuale \omega_x dipende dalla carta scelta, ma il fatto che questo sia nullo o meno è indipendente dalla carta, e quindi l'ipotesi è ben posta.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) Michael Spivak, Calculus on Manifolds, W.A. Benjamin, Inc. Reading, Massachusetts, 1965, ISBN 0-8053-9021-9.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]


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