Identità di Lagrange

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In algebra, l'identità di Lagrange è l'identità quadratica che coinvolge il prodotto vettoriale: [1][2]


\begin{align}
\biggl( \sum_{k=1}^n a_k^2\biggr) \biggl(\sum_{k=1}^n b_k^2\biggr) - \biggl(\sum_{k=1}^n a_k b_k\biggr)^2 & = \sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=i+1}^n (a_i b_j - a_j b_i)^2 \\
& \biggl(= {1 \over 2} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (a_i b_j - a_j b_i)^2\biggr),
\end{align}

che si applica ad ogni coppia di insiemi {a1, a2, . . ., an} e {b1, b2, . . ., bn} di numeri reali o complessi (o, più generalmente, di elementi di un anello commutativo). Questa identità è una forma speciale dell'identità di Binet–Cauchy.

Per numeri reali, l'identità si può scrivere in una notazione più compatta utilizzando il prodotto scalare, [3]

\| \bar a \|^2 \ \| \bar b \|^2 - \|( \bar a \cdot \bar b )\|^2 = \sum_{1 \le i < j \le n} \left(a_ib_j-a_jb_i \right)^2 \ ,

dove a e b sono vettori n-dimensionali le cui componenti sono numeri reali. Questa identità può essere estesa al caso complesso, come [4][5]

\biggl( \sum_{k=1}^n |a_k|^2\biggr) \biggl(\sum_{k=1}^n |b_k|^2\biggr) - \biggl|\sum_{k=1}^n a_k b_k\biggr|^2 = \sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=i+1}^n |a_i \overline{b}_j - a_j \overline{b}_i|^2.

Dal momento che la parte destra dell'identità è chiaramente non-negativa, essa implica la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz nello spazio euclideo finito-dimensionalen e la sua controparte complessa ℂn.

Identità di Lagrange e algebra esterna[modifica | modifica sorgente]

Utilizzando il prodotto esterno, l'identità di Lagrange può essere scritta nel modo seguente:

(a \cdot a)(b \cdot b) - (a \cdot b)^2 = (a \wedge b) \cdot (a \wedge b).

Quindi, può essere vista come una formula che dà la lunghezza del prodotto esterno di due vettori, che è l'area del parallelogrammo che essi delineano, in termini di prodotto scalare dei due vettori, come

\|a \wedge b\| = \sqrt{(\|a\|\ \|b\|)^2 - \|a \cdot b\|^2}.

Identità di Lagrange e calcolo vettoriale[modifica | modifica sorgente]

Nelle tre dimensioni, l'identità di Lagrange asserisce che il quadrato dell'area di un parallelogrammo nello spazio è uguale alla somma dei quadrati delle sue proiezioni all'interno del sistema di coordinamento Cartesiano. Algebricamente, se a e b sono vettori in ℝ3 di lunghezza |a| e |b|, allora l'identità di Lagrange può essere scritta in termini del prodotto vettoriale e del prodotto scalare: [6][7]

 \| \bar a \|^2 \ \| \bar b \|^2 - \|( \bar a \cdot \bar b )\|^2 = |\bar a \times \bar  b|^2.

Usando la definizione di angolo basata sul prodotto scalare, la parte sinistra è

|\bar{a}|^2|\bar{b}|^2(1-\cos^2\theta) = |\bar{a}|^2|\bar{b}|^2\sin^2\theta

dove θ è l'angolo formato dai vettori a e b. L'area del parallelogramma di lati |a| e |b| e di angolo θ si sa essere, secondo la geometria elementare,

|\bar{a}|\,|\bar{b}|\,|\sin\theta|,

allora la parte sinistra dell'identità di Lagrange è il quadrato dell'area del parallelogramma. Il prodotto vettoriale che compare nella parte destra è definito da

\bar{a}\times\bar{b} = (a_2b_3-a_3b_2)\bar{i} + (a_3b_1-a_1b_3)\bar{j} + (a_1b_2-a_2b_1)\bar{k}

che è un vettore le cui componenti sono uguali in magnitudine alle aree delle proiezioni del parallelogrammo all'interno dei piani yz, zx e xy, rispettivamente.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Eric W. Weisstein, CRC concise encyclopedia of mathematics, 2nd, CRC Press, 2003, ISBN 1-58488-347-2.
  2. ^ Robert E Greene and Steven G Krantz, Exercise 16 in Function theory of one complex variable, 3rd, American Mathematical Society, 2006, p. 22, ISBN 0-8218-3962-4.
  3. ^ Vladimir A. Boichenko, Gennadiĭ Alekseevich Leonov, Volker Reitmann, Dimension theory for ordinary differential equations, Vieweg+Teubner Verlag, 2005, p. 26, ISBN 3-519-00437-2.
  4. ^ J. Michael Steele, Exercise 4.4: Lagrange's identity for complex numbers in The Cauchy-Schwarz master class: an introduction to the art of mathematical inequalities, Cambridge University Press, 2004, pp. 68–69, ISBN 052154677X.
  5. ^ Robert E. Greene e Steven G. Krantz, Function Theory of One Complex Variable, Providence, R.I., American Mathematical Society, 2002, pp. 22, Exercise 16, ISBN 978-0-8218-2905-9.;
    Bruce P. Palka, An Introduction to Complex Function Theory, Berlin, New York, Springer-Verlag, 1991, pp. 27, Exercise 4.22, ISBN 978-0-387-97427-9..
  6. ^ Howard Anton, Chris Rorres, Relationships between dot and cross products in Elementary Linear Algebra: Applications Version, 10th, John Wiley and Sons, 2010, p. 162, ISBN 0-470-43205-5.
  7. ^ Pertti Lounesto, Clifford algebras and spinors, 2nd, Cambridge University Press, 2001, p. 94, ISBN 0-521-00551-5.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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