Algebra di divisione

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In matematica, nell'ambito dell'algebra astratta, un'algebra di divisione è un'algebra in cui l'operazione di divisione è, in un certo senso, possibile.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Sia D un'algebra su un campo tale da non consistere del solo elemento nullo. Se per ogni elemento a ed ogni altro elemento non-nullo b di D esiste esattamente un elemento x di D tale che a = bx, ed esattamente un elemento y di D tale che a = yb, allora D è un'algebra di divisione.

Per algebre associative, la definizione può essere semplificata: un'algebra associativa su un campo è un'algebra di divisione se e solo se possiede un'identità moltiplicativa diversa dall'elemento nullo ed ogni elemento non-nullo ammette un inverso moltiplicativo (ossia per ogni a dell'algebra esiste un x tale che ax = xa = 1, ove 1 è l'identità moltiplicativa dell'algebra).

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Uno degli esempi più semplici di algebra di divisione associativa è costituito dall'algebra dei numeri reali R.

Salendo di dimensione si trova l'algebra reale dei numeri complessi C. Per il teorema di Gelfand-Mazur, ogni algebra di Banach che sia anche un'algebra di divisione è isomorfa a C.

I quaternioni H sono un esempio di algebra di divisione non commutativa sui reali.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]