Quasi-anello

In matematica un quasi-anello (near-ring in inglese) è una struttura algebrica più "debole" di un anello, cioè a dire, con assiomi meno restrittivi: più precisamente, non si richiede né che la somma sia commutativa né che la legge distributiva del prodotto rispetto alla somma valga da entrambi i lati.

Parleremo, quindi, di quasi-anelli sinistri se

$\ x(y+z)=xy+xz$

e di quasi-anelli destri se

$\ (y+z)x=yx+zx$.

Definizione formale

L'insieme R, dotato di due operazioni binarie + e ·, è un quasi-anello (sinistro) se valgono i seguenti assiomi:

• (R, +) è un gruppo con elemento neutro 0;
• (R, ·) è un semigruppo;
• La moltiplicazione a sinistra è distributiva rispetto alla somma: x·(y + z) = (x·y) + (x·z).

Gli anelli sono dei particolari quasi-anelli sia sinistri che destri.

Giustificazione

Pur avendo una definizione apparentemente gratuita, i quasi-anelli hanno un modello notevole ottenuto considerando tutte le funzioni di un gruppo su se stesso.

Sia dato un gruppo $\ G$ e sia $\ M(G)$ la famiglia di tutte le funzioni

$f:G\longrightarrow G$

di $\ G$ su se stesso (inteso come insieme).


Definiamo la somma in $\ M(G)$:

$\ \forall f,g\in M(G) \text{ e } x\in G \text{ sia } (f+g)(x)\equiv f(x)+g(x)$

ove $\ (f+g)$ è la somma definita in $\ M(G)$, mentre $\ f(x)+g(x)$ è la somma in $\ G$.


Definiamo il prodotto in $\ M(G)$:

$\ \forall f,g\in M(G) \text{ e } x\in G \text{ sia } (f\cdot g)(x)\equiv (f\circ g)(x)$

ove $\ (f\cdot g)$ è il prodotto definito in $\ M(G)$, mentre $\ (f\circ g)$ è la usuale composizione di funzioni.


Con tali somma e prodotto abbiamo dotato l'insieme $\ M(G)$ di una struttura di quasi-anello sinistro.

Un teorema fondamentale di rappresentazione mostra che tutti i quasi-anelli sono isomorfi a un sottoquasi-anello di $\ M(G)$ per un opportuno gruppo $\ G$.

Quasi-anelli con unità

Se $\ R$ contiene l'elemento neutro $\ 1$ rispetto al prodotto, diremo che $\ R$ è un quasi-anello con unità.

Quasi-anelli zerosimmetrici

Sia $\ R$ un quasi-anello sinistro. Per ogni $\ x\in R$ vale l'uguaglianza $\ x0=0$ (ove $\ 0$ è l'elemento neutro rispetto alla somma), infatti:

$\ xx=x(x+0)=xx+x0$.

In genere, però, non è detto che sia $\ 0x=0$; i quasi anelli per i quali ciò avviene, comunque si scelga $\ x\in R$, sono detti zerosimmetrici.

Quasi-corpi

Un quasi-corpo è un quasi-anello K i cui elementi distinti dallo zero formano un gruppo rispetto al prodotto.

Ideali in un quasi-anello

Analogamente a quanto si fa per gli anelli si possono definire gli ideali in un quasi-anello:

Si dice ideale (bilatero) di un quasi-anello sinistro R un suo sottoinsieme I tale che
1) (I, +) è un sottogruppo normale di (R,+);
2) r·i appartiene a I per ogni i di I e per ogni r di R;
3) (x+i)y-xy appartiene a I per ogni i di I e per ogni x,y di R.

Se solo le condizioni (1) e (2) sono soddisfatte diremo che I è un ideale sinistro; se invece sono soddisfatte le condizioni (1) e (3) diremo che I è un ideale destro.

Collegamenti esterni

• Near Ring Main Page (Johannes Kepler Universität Linz)

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