Quasi-anello

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In matematica un quasi-anello (near-ring in inglese) è una struttura algebrica più "debole" di un anello, cioè a dire, con assiomi meno restrittivi: più precisamente, non si richiede né che la somma sia commutativa né che la legge distributiva del prodotto rispetto alla somma valga da entrambi i lati.

Parleremo, quindi, di quasi-anelli sinistri se

\ x(y+z)=xy+xz

e di quasi-anelli destri se

\ (y+z)x=yx+zx.


Definizione formale[modifica | modifica sorgente]

L'insieme R, dotato di due operazioni binarie + e ·, è un quasi-anello (sinistro) se valgono i seguenti assiomi:

  • (R, +) è un gruppo con elemento neutro 0;
  • (R, ·) è un semigruppo;
  • La moltiplicazione a sinistra è distributiva rispetto alla somma: x·(y + z) = (x·y) + (x·z).


Gli anelli sono dei particolari quasi-anelli sia sinistri che destri.

Giustificazione[modifica | modifica sorgente]

Pur avendo una definizione apparentemente gratuita, i quasi-anelli hanno un modello notevole ottenuto considerando tutte le funzioni di un gruppo su se stesso.

Sia dato un gruppo \ G e sia \ M(G) la famiglia di tutte le funzioni

f:G\longrightarrow G

di \ G su se stesso (inteso come insieme).


Definiamo la somma in \ M(G):

\ \forall f,g\in M(G) \text{ e } x\in G \text{ sia } (f+g)(x)\equiv f(x)+g(x)

ove \ (f+g) è la somma definita in \ M(G), mentre \ f(x)+g(x) è la somma in \ G.


Definiamo il prodotto in \ M(G):

\ \forall f,g\in M(G) \text{ e } x\in G \text{ sia } (f\cdot g)(x)\equiv (f\circ g)(x)

ove \ (f\cdot g) è il prodotto definito in \ M(G), mentre \ (f\circ g) è la usuale composizione di funzioni.


Con tali somma e prodotto abbiamo dotato l'insieme \ M(G) di una struttura di quasi-anello sinistro.

Un teorema fondamentale di rappresentazione mostra che tutti i quasi-anelli sono isomorfi a un sottoquasi-anello di \ M(G) per un opportuno gruppo \ G.

Quasi-anelli con unità[modifica | modifica sorgente]

Se \ R contiene l'elemento neutro \ 1 rispetto al prodotto, diremo che \ R è un quasi-anello con unità.


Quasi-anelli zerosimmetrici[modifica | modifica sorgente]

Sia \ R un quasi-anello sinistro. Per ogni \ x\in R vale l'uguaglianza \ x0=0 (ove \ 0 è l'elemento neutro rispetto alla somma), infatti:

\ xx=x(x+0)=xx+x0.

In genere, però, non è detto che sia \ 0x=0; i quasi anelli per i quali ciò avviene, comunque si scelga \ x\in R, sono detti zerosimmetrici.


Quasi-corpi[modifica | modifica sorgente]

Un quasi-corpo è un quasi-anello K i cui elementi distinti dallo zero formano un gruppo rispetto al prodotto.


Ideali in un quasi-anello[modifica | modifica sorgente]

Analogamente a quanto si fa per gli anelli si possono definire gli ideali in un quasi-anello:

Si dice ideale (bilatero) di un quasi-anello sinistro R un suo sottoinsieme I tale che
1) (I, +) è un sottogruppo normale di (R,+);
2) r·i appartiene a I per ogni i di I e per ogni r di R;
3) (x+i)y-xy appartiene a I per ogni i di I e per ogni x,y di R.


Se solo le condizioni (1) e (2) sono soddisfatte diremo che I è un ideale sinistro; se invece sono soddisfatte le condizioni (1) e (3) diremo che I è un ideale destro.


Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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