Estensione separabile

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In teoria dei campi, data un'estensione di campi L / K, un elemento a algebrico su K è detto separabile su K se è radice di un polinomio separabile (o equivalentemente, se il suo polinomio minimo p è separabile). Se ogni elemento di L è separabile, L / K si dice un'estensione separabile.

Un elemento a è separabile se e solo se il campo di spezzamento del suo polinomio minimo è un'estensione separabile di K.

Le estensioni separabili sono particolarmente importanti in teoria di Galois, si prova infatti che tutte le estensioni di Galois sono separabili. Più precisamente, si prova che le estensioni di Galois sono esattamente le estensioni di campi che sono finite, normali e separabili.

Un campo perfetto è un campo le cui estensioni algebriche sono tutte separabili (o equivalentemente un campo le cui estensioni finite sono tutte separabili); tale concetto è importante nella teoria di Galois. Un semplice criterio per sapere se un campo è perfetto è il seguente: un campo è perfetto se e solo ha caratteristica zero o ha caratteristica p diversa da zero e ogni elemento ha una radice p-esima nel campo (cioè il suo omomorfismo di Frobenius è suriettivo). In particolare, tutti i campi finiti o di caratteristica zero (come Q, R o C) sono perfetti.

Esempi di estensioni separabili sono \R/\mathbb{Q}, \mathbb{C}/\mathbb{Q}, \mathbb{C}/\R, così come tutte le estensioni su campi perfetti, o anche F_p(x,y)/F_p(x), ove F_p è il campo finito con p elementi (con p primo) e x e y sono algebricamente indipendenti su F_p.

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