Gruppo nilpotente

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In matematica, un gruppo nilpotente è un gruppo G che ammette una serie centrale, ovvero una successione di sottogruppi normali

\{1\}\subseteq H_1\subseteq H_2\subseteq\cdots\subseteq H_{n-1}\subseteq H_n=G

tale che ogni quoziente H_{i+1}/H_i è contenuto nel centro di G/H_i. Il minimo n per cui G ammette una serie centrale di lunghezza n è detto indice (o classe) di nilpotenza di G.

I gruppi nilpotenti formano una classe intermedia tra i gruppi abeliani e i gruppi risolubili; con i primi condividono il fatto di poter essere ricostruiti (almeno per la loro parte di torsione) dai sottogruppi di Sylow, mentre con i secondi la vicinanza ai gruppi abeliani mediante serie di sottogruppi.

I gruppi nilpotenti hanno un ruolo centrale nello studio dei gruppi di Lie; nella teoria delle algebre di Lie, un'analoga definizione porta al concetto di algebra di Lie nilpotente.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

A partire da un gruppo G, possono essere definite due diverse catene di sottogruppi, una ascendente e una discendente.

La serie centrale ascendente è la successione \{1\}=Z_0\subseteq Z_1\subseteq Z_2\subseteq\cdots dove ogni Z_i definito come Z_i:=\{g\in G\mid [g,h]\in Z_{i-1}\text{ per ogni }h\in G\} (dove [g,h]=g^{-1}h^{-1}gh è il commutatore di g ed h); equivalentemente, Z_i è tale che Z_i/Z_{i-1} è il centro di G/Z_{i-1}.

La serie centrale discendente è la successione G=\Gamma_0\supseteq \Gamma_1\supseteq \Gamma_2\supseteq\cdots, dove \Gamma_i:=[G,\Gamma_{i-1}] è il sottogruppo generato dagli elementi [g,h], per ogni g\in G e ogni h\in \Gamma_{i-1}.

Un gruppo è nilpotente se la serie centrale ascendente arriva a G (cioè se Z_n=G per qualche n), o equivalentemente se la serie centrale discendente arriva al sottogruppo banale \{1\} (cioè se H_m=\{1\} per qualche m); un'ulteriore condizione equivalente è l'esistenza di una serie centrale arbitraria, ovvero una successione di sottogruppi normali

\{1\}\subseteq H_1\subseteq H_2\subseteq\cdots\subseteq H_{k-1}\subseteq H_k=G

in cui H_{i+1}/H_i\subseteq Z(G/H_i). Se questo avviene, la lunghezza della serie centrale ascendente e di quella discendente sono uguali, e questo numero è la minima lunghezza di una serie normale di G: è detto indice (o classe) di nilpotenza di G.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Tutti i gruppi abeliani sono nilpotenti, in quanto ammettono la serie centrale \{1\}\subseteq G, e di conseguenza hanno indice di nilpotenza 1; viceversa, ogni gruppo con indice di nilpotenza 1 è abeliano.

Tutti i p-gruppi finiti sono nilpotenti e, in particolare, un gruppo con p^n elementi ha indice di nilpotenza al più n-1; questo segue dal fatto che ogni p-gruppo ha centro non banale. Questo non vale se il gruppo è infinito: ad esempio, data una successione G_n di p-gruppi, in cui G_n ha indice di nilpotenza n, allora la somma diretta \bigoplus G_n è un p-gruppo la cui serie centrale ascendente non termina.

Un esempio di gruppo infinito non abeliano ma nilpotente è il gruppo di Heisenberg G=\left\{\begin{pmatrix}
 1 & a & c\\
 0 & 1 & b\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}\mid a,b,c\in\mathbb{R}\right\}.

Un gruppo il cui centro è banale non è mai nilpotente, in quanto la sua serie ascendente è stazionaria già a Z_0.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

La proprietà di essere nilpotente si trasferisce ai sottogruppi e ai gruppi quoziente; se inoltre G ha indice di nilpotenza c, allora l'indice dei suoi sottogruppi e dei suoi quozienti è al più c. Analogamente, se il quoziente G/N è nilpotente di classe c, allora G è nilpotente di classe al più c+1. Il prodotto diretto di una quantità finita di gruppi nilpotenti è ancora nilpotente, e la sua classe di nilpotenza è uguale al massimo delle classi dei fattori.

Poiché i quozienti H_{i+1}/H_i sono contenuti nel centro di G/H_i, ogni quoziente è abeliano, e quindi una serie centrale è, in particolare, una serie normale; questo implica che ogni gruppo nilpotente è risolubile. L'implicazione non può essere rovesciata: ad esempio il gruppo simmetrico S_3 è risolubile ma non nilpotente (in quanto il suo centro è banale).

Una delle proprietà più importanti dei gruppi nilpotenti è il loro legame con i loro sottogruppi di Sylow. Se infatti G è un gruppo nilpotente finito, allora tutti i suoi sottogruppi di Sylow sono normali, e G stesso è il prodotto diretto dei sottogruppi di Sylow; dal momento che i p-gruppi sono nilpotenti, questo risultato classifica i gruppi nilpotenti finiti come i prodotti diretti di p-gruppi. Nel caso infinito, i sottogruppi di Sylow possono non generare l'intero gruppo (in quanto possono essere presenti elementi di ordine infinito), ma essi sono ancora normali nel gruppo, e il loro prodotto diretto è uguale al sottogruppo di torsione di G.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Antonio Machì, Gruppi: Una introduzione a idee e metodi della Teoria dei Gruppi, Springer, 2010, ISBN 8847006228.
  • J.S. Milne, Group theory, 2012. URL consultato il 22 febbraio 2013.

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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