Algebra di Lie nilpotente

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In matematica, un'algebra di Lie \mathfrak{g} si dice nilpotente se la sua serie centrale discendente, definita come

 \mathfrak{g} > [\mathfrak{g},\mathfrak{g}] > [[\mathfrak{g},\mathfrak{g}],\mathfrak{g}] > [[[\mathfrak{g},\mathfrak{g}],\mathfrak{g}],\mathfrak{g}] > \cdots

diviene 0 dopo un certo numero finito di passaggi. Equivalentemente, \mathfrak{g} si dice nilpotente se

\operatorname{ad}(x_1) \operatorname{ad}(x_2) \operatorname{ad}(x_3) ... \operatorname{ad}(x_r) = 0,

per ogni sequenza di elementi x_i \in \mathfrak{g} abbastanza lunga, dove \operatorname{ad}(x_i) indica l'endomorfismo aggiunto associato a x_i.

Conseguenza di questo è che \operatorname{ad}(x) è nilpotente (come operatore lineare) per ogni x\in\mathfrak{g}. Il teorema di Engel dimostra che è vero anche il viceversa. Inoltre, la forma di Killing di un'algebra di Lie nilpotente è identicamente nulla.

Ogni algebra nilpotente è risolubile. Questo fatto è spesso usato per dimostrare che una certa algebra sia risolubile, in quanto dimostrare la nilpotenza è più semplice. Il viceversa non è in generale vero.

Un'algebra di Lie è nilpotente se e solo se il suo quoziente rispetto ad un ideale contenente il centro di \mathfrak{g} è anch'esso nilpotente.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Humphreys, James E. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag, New York, 1972. ISBN 0-387-90053-5
matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica