Algebra di Lie nilpotente

In matematica, un'algebra di Lie ${\mathfrak {g}}$ si dice nilpotente se la sua serie centrale discendente, definita come

${\mathfrak {g}}>[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]>[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}]>[[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}]>\cdots$

diviene 0 dopo un certo numero finito di passaggi. Equivalentemente, ${\mathfrak {g}}$ si dice nilpotente se

$\operatorname {ad} (x_{1})\operatorname {ad} (x_{2})\operatorname {ad} (x_{3})...\operatorname {ad} (x_{r})=0,$

per ogni sequenza di elementi $x_{i}\in {\mathfrak {g}}$ abbastanza lunga, dove $\operatorname {ad} (x_{i})$ indica l'endomorfismo aggiunto associato a $x_{i}$.

Conseguenza di questo è che $\operatorname {ad} (x)$ è nilpotente (come operatore lineare) per ogni $x\in {\mathfrak {g}}$. Il teorema di Engel dimostra che è vero anche il viceversa. Inoltre, la forma di Killing di un'algebra di Lie nilpotente è identicamente nulla.

Ogni algebra nilpotente è risolubile. Questo fatto è spesso usato per dimostrare che una certa algebra sia risolubile, in quanto dimostrare la nilpotenza è più semplice. Il viceversa non è in generale vero.

Un'algebra di Lie è nilpotente se e solo se il suo quoziente rispetto ad un ideale contenente il centro di ${\mathfrak {g}}$ è anch'esso nilpotente.

Bibliografia

• Humphreys, James E. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag, New York, 1972. ISBN 0-387-90053-5
• W. Fulton e J. Harris, Representation theory. A first course, Graduate Texts in Mathematics, vol. 129, New York, Springer-Verlag, 1991, ISBN 978-0-387-97527-6, MR 1153249.
• James E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Graduate Texts in Mathematics, vol. 9, New York, Springer-Verlag, 1972, ISBN 0-387-90053-5.
• A. W. Knapp, Lie groups beyond an introduction, Progress in Mathematics, vol. 120, 2nd, Boston·Basel·Berlin, Birkhäuser, 2002, ISBN 0-8176-4259-5.

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