Corpo (matematica)

In matematica, un corpo è una particolare struttura algebrica, che può essere considerata come intermedia fra quella di anello e quella di campo.

Un corpo è infatti un insieme munito di due operazioni binarie, chiamate somma e prodotto e indicate rispettivamente con $+$ e $*$, che abbia tutte le proprietà usuali di un campo, tranne la proprietà commutativa per il prodotto. Equivalentemente, è un anello unitario in cui ogni elemento non nullo ha un inverso moltiplicativo.

Definizione

Un corpo è un insieme $K$, dotato di due operazioni binarie interne $+$ e $*$, che soddisfa i seguenti assiomi:

$(K,+)$ è un gruppo abeliano con elemento neutro $0$:

• $(a+b) +c = a + (b+c)$
• $a+b = b+a$
• $0+a = a+0 = a$
• per ogni $a$ esiste un elemento $(-a)$ tale che $a+(-a) = 0$

$(K^*,*)$ è un gruppo con elemento neutro $1$:

• $a*(b*c) = (a*b)*c$
• $1*a = a*1 = a$
• per ogni $a \neq 0$ esiste un elemento $a^{-1}$ tale che $a*a^{-1} = a^{-1}*a = 1$

La moltiplicazione è distributiva rispetto alla somma:

• $a*(b+c) = a*b + a*c$
• $(a+b)*c = a*c + b*c$

(le relazioni devono valere per ogni $a,b$ e $c$ in $K$)

Nella definizione, $K^* = K\setminus \{0\}$.

Un corpo in cui la moltiplicazione è commutativa è detto corpo commutativo, e più usualmente campo.

Esempi

Ogni campo è anche un corpo: sono quindi corpi i campi $\mathbb Q, \R, \mathbb C$ dei numeri razionali, reali e complessi.

L'insieme $\mathbb{H} \ \$ dei quaternioni è un corpo (non commutativo).

Proprietà

Equazioni

In un corpo sono risolubili in modo unico le equazioni

$a*x = b$, $x*a = b$

per ogni $a,b$ appartenenti a $K$ con $a$ diverso da 0.

Voci correlate

• Anello (algebra)
• Campo (matematica)

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