Corpo (matematica)

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In matematica, un corpo è una particolare struttura algebrica, che può essere considerata come intermedia fra quella di anello e quella di campo.

Un corpo è infatti un insieme munito di due operazioni binarie, chiamate somma e prodotto e indicate rispettivamente con + e *, che abbia tutte le proprietà usuali di un campo, tranne la proprietà commutativa per il prodotto. Equivalentemente, è un anello unitario in cui ogni elemento non nullo ha un inverso moltiplicativo.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Un corpo è un insieme  K , dotato di due operazioni binarie interne  + e  * , che soddisfa i seguenti assiomi:

 (K,+) è un gruppo abeliano con elemento neutro  0 :

  •  (a+b) +c = a + (b+c)
  •  a+b = b+a
  •  0+a = a+0 = a
  • per ogni  a esiste un elemento  (-a) tale che a+(-a) = 0

 (K^*,*) è un gruppo con elemento neutro  1 :

  •  a*(b*c) = (a*b)*c
  •  1*a = a*1 = a
  • per ogni  a \neq 0 esiste un elemento  a^{-1} tale che  a*a^{-1} = a^{-1}*a = 1

La moltiplicazione è distributiva rispetto alla somma:

  •  a*(b+c) = a*b + a*c
  •  (a+b)*c = a*c + b*c

(le relazioni devono valere per ogni  a,b e  c in  K )

Nella definizione, K^* = K\setminus \{0\}.

Un corpo in cui la moltiplicazione è commutativa è detto corpo commutativo, e più usualmente campo.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Ogni campo è anche un corpo: sono quindi corpi i campi \mathbb Q, \R, \mathbb C dei numeri razionali, reali e complessi.

L'insieme \mathbb{H} \ \ dei quaternioni è un corpo (non commutativo).

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Equazioni[modifica | modifica wikitesto]

In un corpo sono risolubili in modo unico le equazioni

a*x = b, x*a = b

per ogni  a,b appartenenti a  K con  a diverso da 0.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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