Teorema di Artin-Wedderburn

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In algebra astratta, il teorema di Artin-Wedderburn è un teorema che consente la classificazione degli anelli semisemplici (anelli che sono scomponibili come somma diretta di anelli semplici). In base al teorema, ogni anello semisemplice può essere scomposto nel prodotto diretto di particolari anelli di matrici.

Il teorema, introdotto da Joseph Wedderburn per i soli anelli semplici, fu in seguito generalizzato da Emil Artin nella forma attuale.

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Sia R un anello semisemplice; R è isomorfo al prodotto esterno:

\prod_{i=1}^n \mathbb{M}_{n_i} (D_i),

dove D_i è un anello con divisione, e \mathbb{M}_{n_i} (D_i) è l'anello delle matrici quadrate formate da n_i righe e colonne, a valori in D_i.

Corollari[modifica | modifica wikitesto]

  • Se R è un anello artiniano, il prodotto diretto si riduce ad un unico fattore, per cui R è isomorfo ad un anello di matrici su un anello con divisione.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

  • ogni algebra semplice a dimensione finita su \mathbb{R} è un anello di matrici su \mathbb{R}, \mathbb{C} o sull'insieme dei quaternioni \mathbb{H};
  • ogni algebra semplice centrale su \mathbb{R} è un anello di matrici su \mathbb{R} o \mathbb{H};
  • ogni algebra semplice a dimensione finita su \mathbb{C} è un anello di matrici su \mathbb{C};
  • ogni algebra semplice centrale su \mathbb{C} è un anello di matrici su \mathbb{C};
  • ogni algebra semplice centrale su un campo finito è un anello di matrici su quel campo.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Questo è il risultato originale ottenuto da Wedderburn.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]


matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica