Sottogruppo normale

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Il sottogruppo normale è un'importante nozione di algebra, e più precisamente di teoria dei gruppi.

Dato un gruppo G, un sottogruppo K di G è normale (o invariante) se i laterali sinistro e destro di ogni elemento g di G coincidono, ovvero:

gK=Kg

In questo caso si scrive:

K\triangleleft G.

I sottogruppi normali sono importanti in teoria dei gruppi, perché se K è un sottogruppo normale di G è possibile definire il gruppo quoziente G/K.

Definizioni equivalenti[modifica | modifica wikitesto]

Esistono numerosi modi equivalenti per definire un sottogruppo normale. Tra questi:

\forall g\in G, k\in K\quad gkg^{-1}\in K
  • K è un sottogruppo normale se è chiuso rispetto all'operazione di coniugio

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

  • Se K \triangleleft H \triangleleft G, non è detto che K \triangleleft G. Infatti possono esserci isomorfismi non interni di H che sono isomorfismi interni di G e che non mandano K in sé. Per esempio, nel gruppo alterno A_4 ci sono tre sottogruppi di ordine 2, e ognuno di essi è normale nell'unico sottogruppo (abeliano) di ordine 4, che è a sua volta normale in A_4. Ma i tre sottogruppi di ordine due sono permutati ciclicamente dall'automorfismo interno indotto da ogni elemento di A_4 di ordine 3, e dunque nessuno di essi è normale in A_4.

Se però si aggiunge l'ipotesi che K sia caratteristico, in H, cioè mandato in sé da ogni automorfismo di H, si ha che effettivamente K \triangleleft G.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

  • In un gruppo abeliano, ogni sottogruppo è normale.
  • Il nucleo di un omomorfismo h: GH è un sottogruppo normale di G.
  • I sottogruppi {e} e G (il più piccolo ed il più grande fra i sottogruppi di G) sono sempre normali. Se sono gli unici sottogruppi normali, il gruppo si dice semplice.
  • Il gruppo delle traslazioni dello spazio euclideo è un sottogruppo normale del gruppo dei movimenti rigidi dello spazio. Ad esempio, in tre dimensioni: se ruoto, quindi traslo, e poi ruoto nell'altro verso, ottengo una traslazione (che può essere diversa da quella iniziale).
  • L'intersezione di una famiglia di sottogruppi normali è normale.
  • L'immagine inversa tramite omomorfismo di un sottogruppo normale è normale. Invece l'immagine di un sottogruppo normale tramite un omomorfismo non è necessariamente normale.
  • Prodotto di gruppi normali in un prodotto di gruppi è normale.
  • Ogni sottogruppo di indice 2 è normale. Più in generale, se l'indice del sottogruppo H del gruppo finito G è il più piccolo numero primo che divide l'ordine di G, allora H è un sottogruppo normale di G.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.
  • Ralph Grimaldi, Discrete and Combinatorial Mathematics, ISBN 0-201-19912-2.
  • Gunther Schmidt, 2010. Relational Mathematics. Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76268-7.
  • Antonio Machì, Gruppi: Una introduzione a idee e metodi della Teoria dei Gruppi, Springer, 2010, ISBN 88-470-0622-8.
  • J.S. Milne, Group theory, 2012. URL consultato il 22 febbraio 2013.

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Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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