Regola di Ruffini

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In algebra lineare, la regola di Ruffini permette di dividere velocemente un qualunque polinomio per un binomio di primo grado della forma xa. È stata descritta da Paolo Ruffini nel 1809. La regola di Ruffini è un caso speciale della divisione polinomiale quando il divisore è un fattore lineare. La regola di Ruffini è anche nota come divisione sintetica.

L'algoritmo[modifica | modifica sorgente]

La regola di Ruffini stabilisce un metodo per dividere il polinomio

P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0

per il binomio

A(x)=x-r

per ottenere il polinomio quoziente

Q(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots+b_1x+b_0

e un resto R che è un termine costante (eventualmente nullo), visto che deve essere di grado minore rispetto al polinomio divisore.

L'algoritmo non è altro che la divisione polinomiale di P(x) per A(x) scritto in un'altra forma più economica.

Per dividere P(x) per A(x), infatti:

  1. Si prendono i coefficienti di P(x) e si scrivono in ordine. Si scrive poi r in basso a sinistra, proprio sopra la riga:
    
\begin{array}{c|c c c c|c}
 & a_n & a_{n-1} & \dots & a_1 & a_0\\
r & & & & & \\
\hline
 & & & & & \\
\end{array}
  2. Si copia il coefficiente di sinistra (an) in basso, subito sotto la riga:
    
\begin{array}{c|c c c c|c}
 & a_n & a_{n-1} & \dots & a_1 & a_0\\
r & & & & & \\
\hline
 & a_n & & & & \\
 & =b_{n-1} & & & &
\end{array}
  3. Si moltiplica il numero più a sinistra di quelli sotto la riga, per r, e il risultato lo si scrive sopra la riga, spostato di un posto a destra:
    
\begin{array}{c|c c c c|c}
 & a_n & a_{n-1} & \dots & a_1 & a_0\\
r & & b_{n-1} \cdot r & & & \\
\hline
 & a_n & & & & \\
 & =b_{n-1} & & & &
\end{array}
  4. Si somma questo valore con quello sopra di lui nella stessa colonna:
    
\begin{array}{c|c c c c|c}
 & a_n & a_{n-1} & \dots & a_1 & a_0\\
r & & b_{n-1}\cdot r & & & \\
\hline
 & a_n & b_{n-1}\cdot r+a_{n-1} & & & \\
 & =b_{n-1} & =b_{n-2} & & &
\end{array}
  5. Si ripetono i passi 3 e 4 fino al termine dei coefficienti
    

\begin{array}{c|c c c c|c}
 & a_n & a_{n-1} & \dots & a_1 & a_0 \\
r & & b_{n-1}\cdot r & \dots & b_1\cdot r & b_0 \cdot r \\
\hline
 & a_n & b_{n-1} \cdot r+a_{n-1} & \dots & b_1 \cdot r+a_1 & a_0+b_0 \cdot r \\
 & =b_{n-1} & =b_{n-2} & \dots & =b_0 & =R \\
\end{array}

I valori

b_{n-1}, b_{n-2}, \dots, b_0

sono i coefficienti del polinomio risultante Q(x), il cui grado sarà inferiore di uno a quello di P(x), R invece è il resto della divisione.

Un esempio numerico viene fornito più sotto.

Usi della regola[modifica | modifica sorgente]

La regola di Ruffini ha varie applicazioni pratiche, molte di esse si basano sulla divisione semplice (come mostrato sotto) o sulle estensioni usuali che seguono.

Divisione polinomiale per xr[modifica | modifica sorgente]

Ecco un esempio di divisione polinomiale, con tutti i passaggi evidenziati.

Siano

\,P(x)=2x^3-5x^2-x+6
\,A(x)=x+1

Vogliamo dividere P(x) per A(x) usando la regola di Ruffini. Il primo problema è che A(x) non è della forma xr, ma piuttosto x + r. Questo è facile da risolvere, basta riscrivere A(x) come

A(x)=x+1=x-(-1)

Applichiamo ora l'algoritmo.

  1. Scriviamo i coefficienti di P(x) e r:
    
\begin{array}{c| c c c |c}
 & +2 & -5 & -1 & +6 \\
-1 & & & & \\
\hline
 & & & & \\
\end{array}
  2. Copiamo il primo coefficiente sotto:
    
\begin{array}{c| c c c |c}
 & +2 & -5 & -1 & +6 \\
-1 & & & & \\
\hline
 & +2 & & & \\
\end{array}
  3. Moltiplichiamo il numero più a destra sotto la riga, per r, e scriviamolo al posto successivo sopra la riga:
    
\begin{array}{c| c c c |c}
 & +2 & -5 & -1 & +6 \\
-1 & & -2 & & \\
\hline
 & +2 & & & \\
\end{array}
  4. Sommiamo i valori della seconda colonna dopo la riga verticale:
    
\begin{array}{c| c c c |c}
 & +2 & -5 & -1 & +6 \\
-1 & & -2 & & \\
\hline
 & +2 & -7 & & \\
\end{array}
  5. Ripetiamo i passi 3 e 4 fino alla fine:
    
\begin{array}{c| c c c |c}
 & +2 & -5 & -1 & +6 \\
-1 & & -2 & 7 & -6 \\
\hline
 & +2 & -7 & +6 & 0 \\
\end{array}

Abbiamo ottenuto, quindi, che:

P(x)=A(x) \cdot Q(x)+R

dove

Q(x) = 2x^2-7x+6
R=0.

Divisione polinomiale per axk[modifica | modifica sorgente]

Applicando una facile trasformazione, la regola di Ruffini si può generalizzare anche per le divisioni di un polinomio per un binomio qualsiasi di primo grado A(x)=ax-k. Infatti, considerando la relazione fondamentale

P(x)=(ax -k) \cdot Q(x) + R(x)

dividendo tutto per a (sicuramente diverso da 0) otteniamo

\frac{P(x)}{a}=\frac{(ax -k) \cdot Q(x)}{a} + \frac{R(x)}{a}

Detti P(x)/a = P'(x) e R(x)/a = R'(x) otteniamo

P'(x)=(x -\frac{k}{a}) \cdot Q(x) + R'(x)

Dunque il quoziente richiesto Q(x) è anche il quoziente della divisione di P'(x) per (x-k/a), che si può fare con la regola appena esposta. Per trovare il resto richiesto R(x) basterà moltiplicare il resto ottenuto R'(x) per a.

Trovare le radici di un polinomio[modifica | modifica sorgente]

Il teorema delle radici razionali afferma che se un polinomio

P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \dots +a_1x+a_0

ha coefficienti interi, le sue radici razionali sono sempre della forma p/q, dove p e q sono interi coprimi, p è un divisore (non necessariamente positivo) di a0 e q un divisore di an. Se il nostro polinomio è quindi

P(x)=x^3-4x^2+5x-2,

le radici razionali possibili appartengono all'insieme dei divisori interi di -2/1 che sarà:

\left\{+1, -1, +2, -2\right\}

Questo è un esempio semplice, perché il polinomio è monico (cioè, an=1); per i polinomi non monici, l'insieme delle possibili radici comprenderà alcune frazioni, ma solo in numero finito, dato che an e a0 hanno ciascuno un numero finito di divisori interi. In ogni caso per i polinomi monici ogni radice razionale è un intero, e quindi ogni radice intera dev'essere un divisore del termine costante. Si può dimostrare che questo resta vero anche per i polinomi non monici: insomma, per trovare le radici intere di un polinomio a coefficienti interi, basta verificare i divisori del termine costante. Infatti, ogni polinomio non monico può essere ricondotto al caso monico, semplicemente dividendo i coefficienti per an.

Provando pertanto a porre r pari a ciascuna delle radici possibili, si può provare a dividere il polinomio per (x-r). Se il polinomio quoziente risultante ha resto 0, abbiamo trovato una radice. Questo metodo però non permette di trovare radici irrazionali o complesse

Se, per esempio volessimo trovare le radici del precedente polinomio P(x), dobbiamo dividere P(x) per il binomio (xa) dove a è una delle radici possibili. Se il resto è uguale a 0, il numero utilizzato è una radice:


\begin{array}{c|ccc|c}
 & +1 & -4 & +5 & -2 \\
+1 & & +1 & -3 & +2 \\
\hline
 & +1 & -3 & +2 & 0 \\
\end{array}\qquad
\begin{array}{c|ccc|c}
 & +1 & -4 & +5 & -2 \\
-1 & & -1 & +5 & -10 \\
\hline
 & +1 & -5 & +10 & -12 \\
\end{array}

\begin{array}{c|ccc|c}
 & +1 & -4 & +5 & -2 \\
+2 & & +2 & -4 & +2 \\
\hline
 & +1 & -2 & +1 & 0 \\
\end{array}\qquad
\begin{array}{c|ccc|c}
 & +1 & -4 & +5 & -2 \\
-2 & & -2 & +12 & -34 \\
\hline
 & +1 & -6 & +17 & -36 \\
\end{array}

x1=+1 e x3=+2 sono radici, mentre x2=−1 e x4=−2 non lo sono.

Fattorizzazione polinomiale[modifica | modifica sorgente]

Dopo avere usato il metodo "p/q" mostrato sopra (o un qualunque altro modo) per trovare tutte le radici razionali reali di un certo polinomio, è semplice sfruttarle per fattorizzare parzialmente il polinomio stesso: a ogni fattore (x - r) che divide un polinomio dato corrisponde una radice r, e viceversa.

Quindi, se abbiamo il polinomio:

P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0 ;

e abbiamo trovato come sue radici:

R=\left\{\mbox{radici di }P(x)\in\mathbb{Q}\right\} ;

consideriamo il prodotto:

Q(x)=a_n{\prod_{r\in R} (x-r)}.

Per il teorema fondamentale dell'algebra, Q(x) sarebbe uguale a P(x) se tutte le radici di P(x) fossero razionali. Ma è assai probabile che Q(x) non sia uguale a P(x), dato che P(x) potrebbe avere anche radici irrazionali o complesse. Consideriamo allora il polinomio quoziente

S(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}.

Se S(x) = 1, allora Q(x) = P(x). Altrimenti, S(x) sarà un polinomio, per la precisione un altro fattore di P(x) che non ha radici razionali in \mathbb{R}. Dunque

P(x)=Q(x) * S(x)

è una fattorizzazione completa di P(x) su \mathbb{Q} se S(x) = 1, altrimenti sarà una fattorizzazione completa su \mathbb{Q}, ma ci saranno altri fattori su \mathbb{R} o su \mathbb{C}.

Primo esempio: nessun resto[modifica | modifica sorgente]

Sia

Dopo avere usato il metodo "p/q" mostrato sopra (o un qualunque altro modo) per trovare tutte le radici razionali reali di un certo polinomio, è semplice sfruttarle per fattorizzare parzialmente il polinomio stesso: a ogni fattore (x - r) che divide un polinomio dato corrisponde una radice r, e viceversa.

Quindi, se abbiamo il polinomio:

;

e abbiamo trovato come sue radici:

;

consideriamo il prodotto:

.

Per il teorema fondamentale dell'algebra, Q(x) sarebbe uguale a P(x) se tutte le radici di P(x) fossero razionali. Ma è assai probabile che Q(x) non sia uguale a P(x), dato che P(x) potrebbe avere anche radici irrazionali o complesse. Consideriamo allora il polinomio quoziente

.

Se S(x) = 1, allora Q(x) = P(x). Altrimenti, S(x) sarà un polinomio, per la precisione un altro fattore di P(x) che non ha radici razionali in . Dunque

è una fattorizzazione completa di P(x) su  se S(x) = 1, altrimenti sarà una fattorizzazione completa su , ma ci saranno altri fattori su  o su .

Primo esempio: nessun resto[modifica | modifica sorgente]

Sia

Con i metodi descritti sopra, troviamo che le radici razionali di P(x) sono:

Pertanto, il prodotto di (x − ciascuna radice) è

P(x)/Q(x) dà

E così il polinomio fattorizzato è P(x) = Q(x) * 1 = Q(x):

Secondo esempio: con resto[modifica | modifica sorgente]

Sia

P(x)=2x^4-3x^3+x^2-2x-8

Con i metodi descritti sopra, troviamo che le radici razionali di P(x) sono:

R=\left\{-1, +2\right\}

Pertanto, il prodotto di (x − ciascuna radice) è

Q(x)=(x+1)(x-2)

P(x)/Q(x) dà

S(x)=2x^2-x+4

Dato che S(x){\ne}1, il polinomio fattorizzato sui razionali è P(x) = Q(x) · S(x):

P(x)=(x+1)(x-2)(2x^2-x+4)

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica