Divisione dei polinomi

In matematica, la divisione dei polinomi è un algoritmo che permette di trovare il quoziente tra due polinomi, di cui il secondo di grado non superiore al grado del primo. È un'operazione che si può svolgere a mano, poiché spezza il problema in varie divisioni tra monomi, facilmente calcolabili.

Ricordiamo che, se i polinomi sono a coefficienti reali (o più in generale in un campo) per ogni coppia di polinomi A(x) e B(x) esistono unici altri due polinomi Q(x) e R(x) tali che

$A(x)=B(x) \cdot Q(x) + R(x)\,\!$

posto che il grado di R(x) sia minore di quello di B(x). Questo fatto è proprio degli anelli euclidei, come sono gli anelli di polinomi costruiti su un campo.

Il grado di Q(x) sarà equivalente invece alla differenza tra il grado di A(x) e quello di B(x).

Nel caso in cui R(x) = 0, A(x) sarebbe divisibile per B(x).

L'algoritmo

1. Per prima cosa si scrivono i due polinomi in questo modo, facendo attenzione a scrivere esplicitamente anche i termini nulli di A(x) (ad esempio, x²-1 andrà scritto come x²+0x-1).

   $A(x)\,\!$	$B(x)\,\!$

2. Si divide il termine di grado massimo di A(x) per il termine di grado massimo di B(x) e si scrive il risultato sotto B(x).

   $a_nx^n\,\!$	$+\dots\,\!$	$+a_0\,\!$	$b_mx^m+\dots+b_0\,\!$
   			$\frac{a_nx^n}{b_mx^m}=q_kx^k\,\!$

3. Si moltiplica questo termine q_kx^k per il polinomio B(x) e si scrive il risultato sotto A(x), incolonnando ogni termine sotto il termine di A(x) di grado uguale.

   $a_nx^n\,\!$	$+\dots\,\!$	$+a_0\,\!$	$b_mx^m+\dots+b_0\,\!$
   $b_mq_kx^{m+k}\,\!$	$+\dots\,\!$	$+b_0q_kx^k\,\!$	$\frac{a_nx^n}{b_mx^m}=q_kx^k\,\!$

4. Si esegue la sottrazione tra A(x) e il polinomio scritto sotto di esso. Per costruzione, il termine in xⁿ si eliderà, lasciando un polinomio di grado minore (n − 1 o anche meno).

   $a_nx^n\,\!$	$+\dots\,\!$	$+a_0\,\!$	$b_mx^m+\dots+b_0\,\!$
   $b_mq_kx^{m+k}\,\!$	$+\dots\,\!$	$+b_0q_kx^k\,\!$	$\frac{a_nx^n}{b_mx^m}=q_kx^k\,\!$
   $//+r_{n-1}x^{n-1}\,\!$	$+\dots\,\!$	$+r_0\,\!$

5. Se il grado di questo polinomio differenza R₁(x) è non inferiore a quello di B(x) si ripetono le operazioni da 2 a 4 considerando adesso R¹ come dividendo e aggiungendo il termine

   $\frac{r_{n-1}x^{n-1}}{b_m x^m}=q_{k-1}x^{k-1}\,\!$

   a destra del termine q_kx^k, come addendo successivo.
6. Quando si sarà raggiunto un polinomio R_i(x) di grado inferiore a B(x), allora tale polinomio R₁(x) sarà il resto R(x) della divisione; il polinomio

   $Q(x)=q_k x ^k + q_{k-1}x^{k-1}+...+q_0, \,\!$

   formatosi mano a mano sotto B(x), sarà invece il polinomio quoziente.

Esempio

Per comprendere meglio l'algoritmo di divisione dei polinomi, può essere svolto un esercizio d'esempio.

Dividiamo il polinomio

$A(x)=3x^4-x^3\,\!$

per il polinomio

$B(x)=x^2-2\,\!$

Passo 1

Scriviamo i due polinomi A(x) e B(x) come nel modo illustrato più sopra.

$3x^4\,\!$	$-x^3\,\!$	$+0x^2\,\!$	$+0x\,\!$	$+0\,\!$	$x^2-2\,\!$

Passo 2

Dividiamo il termine di grado maggiore di A(x), che risulta essere 3x⁴, per il termine di grado maggiore di B(x), che è x² e scriviamo il risultato sotto B(x).

$3x^4\,\!$	$-x^3\,\!$	$+0x^2\,\!$	$+0x\,\!$	$+0\,\!$	$x^2-2\,\!$
					$3x^2\,\!$

Passo 3

Ora scriviamo, sotto A(x), il polinomio ricavato moltiplicando il risultato della divisione dei termini di grado superiore per il polinomio B(x). Bisogna tenere conto dei termini con coefficiente nullo.

$3x^4\,\!$	$-x^3\,\!$	$+0x^2\,\!$	$+0x\,\!$	$+0\,\!$	$x^2-2\,\!$
$3x^4\,\!$	$+0x^3\,\!$	$-6x^2\,\!$	$+0x\,\!$	$+0\,\!$	$3x^2\,\!$

Si può notare che, come già detto nel caso generale, i termini di grado maggiore di A(x) e del polinomio scritto sotto A(x), sono uguali.

Passo 4

Ora sottraiamo A(x) con il polinomio scritto al di sotto per ottenere il polinomio R₁(x).

$3x^4\,\!$	$-x^3\,\!$	$+0x^2\,\!$	$+0x\,\!$	$+0\,\!$	$x^2-2\,\!$
$3x^4\,\!$	$+0x^3\,\!$	$-6x^2\,\!$	$+0x\,\!$	$+0\,\!$	$3x^2\,\!$
$//\,\!$	$-x^3\,\!$	$+6x^2\,\!$	$+0x\,\!$	$+0\,\!$

Il grado di R₁(x) = − x³ + 6x è maggiore di quello di B(x), dunque iteriamo il procedimento.

Passo 2b

Dividiamo il termine di grado maggiore di R₁ che risulta essere − x³ per il termine di grado maggiore di B(x) e scriviamo il risultato accanto a quello ottenuto precedentemente.

$3x^4\,\!$	$-x^3\,\!$	$+0x^2\,\!$	$+0x\,\!$	$+0\,\!$	$x^2-2\,\!$
$3x^4\,\!$	$+0x^3\,\!$	$-6x^2\,\!$	$+0x\,\!$	$+0\,\!$	$3x^2-x\,\!$
$//\,\!$	$-x^3\,\!$	$+6x^2\,\!$	$+0x\,\!$	$+0\,\!$

Passo 3b

Ora, come nel passo 3, moltiplichiamo il risultato della divisione appena eseguita che, nel nostro esempio risulta essere − x, per il polinomio A(x) e scriviamo il risultato della moltiplicazione sotto R₁(x).

$3x^4\,\!$	$-x^3\,\!$	$+0x^2\,\!$	$+0x\,\!$	$+0\,\!$	$x^2-2\,\!$
$3x^4\,\!$	$+0x^3\,\!$	$-6x^2\,\!$	$+0x\,\!$	$+0\,\!$	$3x^2-x\,\!$
$//\,\!$	$-x^3\,\!$	$+6x^2\,\!$	$+0x\,\!$	$+0\,\!$
	$-x^3\,\!$	$+0x^2\,\!$	$+2x\,\!$	$+0\,\!$

Passo 4b

Eseguiamo la sottrazione tra il polinomio R₁(x) e il polinomio scritto sotto per ottenere R₂(x).

$3x^4\,\!$	$-x^3\,\!$	$+0x^2\,\!$	$+0x\,\!$	$+0\,\!$	$x^2-2\,\!$
$3x^4\,\!$	$+0x^3\,\!$	$-6x^2\,\!$	$+0x\,\!$	$+0\,\!$	$3x^2-x\,\!$
$//\,\!$	$-x^3\,\!$	$+6x^2\,\!$	$+0x\,\!$	$+0\,\!$
	$-x^3\,\!$	$+0x^2\,\!$	$+2x\,\!$	$+0\,\!$
	$//\,\!$	$6x^2\,\!$	$-2x\,\!$	$+0\,\!$

Dato che il grado di R₂(x) non è inferiore a quello di B(x) dobbiamo iterare ancora un'altra volta il procedimento.

Passo 2c

Dividiamo il termine di grado superiore di R₂(x) per il termine di grado superiore di B(x).

$3x^4\,\!$	$-x^3\,\!$	$+0x^2\,\!$	$+0x\,\!$	$+0\,\!$	$x^2-2\,\!$
$3x^4\,\!$	$+0x^3\,\!$	$-6x^2\,\!$	$+0x\,\!$	$+0\,\!$	$3x^2-x+6\,\!$
$//\,\!$	$-x^3\,\!$	$+6x^2\,\!$	$+0x\,\!$	$+0\,\!$
	$-x^3\,\!$	$+0x^2\,\!$	$+2x\,\!$	$+0\,\!$
	$//\,\!$	$6x^2\,\!$	$-2x\,\!$	$+0\,\!$

Passo 3c

Moltiplichiamo B(x) per il risultato della divisione appena eseguita e scriviamo il risultato della moltiplicazione sotto R₂(x).

$3x^4\,\!$	$-x^3\,\!$	$+0x^2\,\!$	$+0x\,\!$	$+0\,\!$	$x^2-2\,\!$
$3x^4\,\!$	$+0x^3\,\!$	$-6x^2\,\!$	$+0x\,\!$	$+0\,\!$	$3x^2-x+6\,\!$
$//\,\!$	$-x^3\,\!$	$+6x^2\,\!$	$+0x\,\!$	$+0\,\!$
	$-x^3\,\!$	$+0x^2\,\!$	$+2x\,\!$	$+0\,\!$
	$//\,\!$	$6x^2\,\!$	$-2x\,\!$	$+0\,\!$
		$6x^2\,\!$	$+0x\,\!$	$-12\,\!$

Passo 4c

Eseguiamo la sottrazione tra R₂(x) e il polinomio scritto sotto per ottenere il polinomio R₃(x).

$3x^4\,\!$	$-x^3\,\!$	$+0x^2\,\!$	$+0x\,\!$	$+0\,\!$	$x^2-2\,\!$
$3x^4\,\!$	$+0x^3\,\!$	$-6x^2\,\!$	$+0x\,\!$	$+0\,\!$	$3x^2-x+6\,\!$
$//\,\!$	$-x^3\,\!$	$+6x^2\,\!$	$+0x\,\!$	$+0\,\!$
	$-x^3\,\!$	$+0x^2\,\!$	$+2x\,\!$	$+0\,\!$
	$//\,\!$	$6x^2\,\!$	$-2x\,\!$	$+0\,\!$
		$6x^2\,\!$	$+0x\,\!$	$-12\,\!$
		$//\,\!$	$-2x\,\!$	$+12\,\!$

Siamo giunti a R₃(x) = − 2x + 12, che ha grado strettamente minore di B(x) = x² − 2, dunque

$R_3(x)=R(x) \,\!$

è il resto e

$Q(x)=3x^2-x+6\,\!$

è il quoziente della nostra divisione, possiamo quindi scrivere

$\begin{align} A(x)=B(x)&\cdot Q(x)+R(x)\\ &\Downarrow \\ 3x^4-x^3=(x^2-2)&\cdot(3x^2-x+6)+(-2x+12) \end{align} \,\!$

Regola di Ruffini

Per approfondire, vedi la voce Regola di Ruffini.

Una versione più sintetica di questo procedimento è attuabile quando il divisore B è della forma B(x) = x − r o B(x) = ax − k, un binomio di primo grado. Tale regola è stata esposta da Paolo Ruffini per la prima volta nel 1810.

Voci correlate

• Divisione
• Polinomio
• Regola di Ruffini
• Teorema del resto

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