Monomio

In matematica un monomio è un'espressione algebrica costituita da un coefficiente e una parte letterale dove non compaiono addizioni e sottrazioni. Ad esempio:

$3x, ax^2, -x^n$

Nell'ultimo esempio, l'esponente n è un numero naturale non specificato.

Ogni monomio è diviso in due parti:

• Il coefficiente del monomio è il termine con valore numerico esplicito, o altrimenti usualmente indicato da un simbolo alfabetico minuscolo, solitamente si trova all'inizio del monomio e quando questo è "1" viene solitamente sottinteso. Quindi i coefficienti dei monomi descritti sopra sono rispettivamente

$3, a, -1$

• Un insieme di lettere che costituiscono la parte letterale del monomio, con le variabili usualmente rappresentate da simboli alfabetici maiuscoli: usualmente A, B, C, ... per le costanti note, X, Y, Z, ... per le variabili incognite.

È opportuno notare che la parte letterale rappresenta un valore numerico: il valore numerico delle costanti e delle variabili.

Un monomio senza lettere è spesso detto costante. Ogni numero non nullo è quindi interpretabile come un monomio costante, o meglio, come un semplice numero reale, quindi di valore noto.

Il grado di un monomio

• Si dice grado di un monomio la somma delle potenze elevate contate con molteplicità, o detto in altri termini, la somma algebrica degli esponenti della parte letterale. I monomi costanti (o semplici numeri reali) sono quindi esattamente quelli con grado zero. Gli esempi descritti sopra hanno rispettivamente grado

$1, 3, 0, 2, n.$

Ad esempio:

$3ax^3y^3$ è un monomio di settimo grado $(1+3+3 = 7)$

$-\frac{4}{5}a^3z^2$ è un monomio di quinto grado $(3+2 = 5)$

un qualsiasi numero reale può essere considerato un monomio di grado zero

• Si dice grado di un monomio rispetto ad una lettera l'esponente con cui la lettera compare nel monomio ridotto in forma normale.

Considerando il monomio $-4a^3x^2y$

1. il grado complessivo è 6
2. il grado rispetto alla $a$ è 3
3. il grado rispetto alla $x$ è 2
4. il grado rispetto alla $y$ è 1

Monomi simili

I monomi ridotti in forma normale aventi la stessa parte letterale, con gli stessi esponenti, si dicono monomi simili. Ad esempio

$3xz \;\;\; -\frac{3}{2}xz \;\;\; -5xz$ sono monomi simili

$\frac{3}{7}y^2z^3 \;\;\; y^2z^3 \;\;\; -y^2z^3$ sono monomi simili

Tra questi due monomi aventi il coefficiente con valore assoluto uguale e segno opposto si dicono opposti, mentre due monomi aventi lo stesso coefficiente si diranno appunto uguali.

Lo 0 viene chiamato monomio nullo. Una somma algebrica di monomi viene chiamata polinomio.

Operazioni fra monomi

Addizione algebrica

La somma algebrica di due o più monomi simili è un monomio simile ad essi, in cui il coefficiente è la somma algebrica dei coefficienti dei singoli monomi. Quando i monomi non sono simili la somma non può essere applicata e si lascia l'espressione inalterata. Quando si ha un'espressione con più monomi si deve sempre cercare di sommare i termini simili fino ad arrivare ad una forma non più modificabile.

Addizione algebrica di monomi simili

L'addizione algebrica tra monomi simili è una operazione

$5b \, -3b \, +6b$

in quanto tutti i monomi hanno la stessa parte letterale $b$. Per poter svolgere l'operazione di somma si raccoglie a fattor comune la parte letterale, applicando all'inverso la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione:

$5b \, -3b \, +6b = b \cdot (+5\,-3\,+6) = 8b$

un altro esempio:

$\frac{1}{2}a \, -\frac{5}{3}a \, +6a = a \cdot (\frac{1}{2}\,-\frac{5}{3}\,+6) = a \cdot (\frac{3-10+36}{6})= \frac{29}{6}a$

Il risultato ottenuto è un monomio simile a quelli dati e il suo coefficiente è la somma algebrica dei coefficienti:

$2x^2y + 5x^2y = 7x^2y$

Addizione algebrica di monomi non simili tra loro

Quando i monomi non sono simili l'addizione algebrica non porta semplificazioni, l'espressione rimane inalterata ed il risultato non è più un monomio, ma un polinomio:

$3a-y+\frac{2}{5}z$

Addizione algebrica di monomi simili e non simili

La somma algebrica viene fatta solo tra monomi simili lasciando inalterati gli altri:

$2a + 3x -3a + 7xy +6a -2b = a \cdot (2-3+6) + 3x + 7xy -2b = 5a + 3x + 7xy -2b$

questo procedimento viene anche detto riduzione dei termini simili.

Prodotto

Il prodotto di due o più monomi è il monomio che ha per coefficiente il prodotto dei coefficienti dei singoli monomi e come parte letterale il prodotto delle loro parti letterali. Ogni fattore letterale ha l'esponente uguale alla somma degli esponenti che esso ha nei singoli monomi.

Considerando ad esempio il prodotto tra $5ab^3y^2$ e $-3a^3b^5$, il prodotto dei coefficienti è:

$(5) \cdot (-3)=-15$

mentre quello delle parti letterali è:

$ab^3y^2 \cdot a^3b^5=a \cdot a^3 \cdot b^3 \cdot b^5 \cdot y^2 = a^{1+3}b^{3+5}y^2 = a^4b^8y^2$

quindi il prodotto dei singoli monomi risulta essere

$5ab^3y^2 \cdot (-3a^3b^5) = -15a^4b^8y^2$

Altri esempi di moltiplicazione tra monomi:

$4ay \cdot 3a^2x=12a^3xy$

$-4x^2y^2 \cdot -\frac{1}{2}x^3z = 2x^5y^2z$

$2xy \cdot 3x^2a \cdot -x^4a^3b = -6x^7ya^4b$

Elevamento a potenza

La potenza di un monomio è il monomio che ha per coefficiente la potenza del coefficiente e per parte letterale la potenza di ciascun fattore letterale del monomio. Considerando il monomio $-2ab^3x^2$ calcolare il suo cubo vuol dire moltiplicare 3 volte per se stesso il monomio:

$(-2ab^3x^2)^3 = (-2ab^3x^2) \cdot (-2ab^3x^2) \cdot(-2ab^3x^2)$

che per le regole del prodotto viste sopra diventa:

$(-2ab^3x^2)^3 = -8a^3b^9x^6$

Altre potenze di monomi sono:

$(2xy^2)^3 = 2^3x^3(y^2)^3 = 8x^3y^6$

$(-\frac{1}{3}x^3yz^2)^2 = \frac{1}{9}x^6y^2z^4$

Divisione

In alcuni casi molto particolari, anche il quoziente di due monomi è un monomio:

Esempio

$2x^2y / xy = 2x$

Questo accade però solo in casi molto particolari, cioè quando il grado del monomio dividendo è maggiore o uguale del monomio divisore e quando le lettere che compaiono nel divisore si trovano, con grado maggiore o uguale, anche nel dividendo. In generale, un monomio che contiene delle lettere non ha un inverso (rispetto alla moltiplicazione). Ad esempio, dato il monomio

$2xy$

non esiste nessun altro monomio che, moltiplicato per $2xy$, dia come risultato 1. Questo perché la moltiplicazione fra monomi può solo incrementare il numero di lettere coinvolte, e non può eliminarle.

Minimo comune multiplo

Per approfondire, vedi Minimo comune multiplo.

Minimo comune multiplo tra due monomi è definito come quel monomio di grado minimo che è divisibile per i due dati. I minimi comuni multipli tra due monomi sono infiniti, essi infatti possono avere qualsiasi coefficiente.

Per determinare la parte letterale dell'm.c.m. tra due monomi si prendono tutte le lettere, comuni e non comuni, dei monomi con il loro massimo esponente.

Per quanto riguarda il coefficiente, per convenzione, si utilizza l'm.c.m. tra i coefficienti quando è possibile calcolarlo, altrimenti 1.

Esempio:

$m.c.m.(2x^{2}y^{2}; 3x^{3}yz^{2}) = 6x^{3}y^{2}z^{2}$

$m.c.m.(-\frac{2}{3}xy^{3}z^{4}; 3xy^{2}z^{5}) = xy^{3}z^{5}$

Massimo comune divisore

Per approfondire, vedi Massimo comune divisore.

Massimo comune divisore tra due monomi è definito come quel monomio di grado massimo che divide i due dati. I massimi comuni divisori tra due monomi sono infiniti, essi infatti possono avere qualsiasi coefficiente.

Per d

Altre definizioni

I monomi descritti sopra sono tutti in forma normale, cioè espressi come un unico coefficiente numerico che moltiplica delle lettere, ciascuna delle quali compare una volta sola con un certo esponente. Lo stesso monomio può però essere espresso anche in altre forme, posizionando in modo diverso i suoi elementi. Ad esempio, le scritture

$4 x^2y, \quad 4 xyx, \quad 2y2x^2$

rappresentano tutte lo stesso monomio, scritto in modi diversi. Solo la prima di esse rappresenta il monomio in forma normale.

In alcuni casi si ammette la presenza nel monomio di esponenti negativi: in questo caso, il monomio è in realtà una frazione algebrica:

$2x^2y^{-3}z = 2\frac {x^2z}{y^3}.$

In questo caso si parla di monomi frazionari (o fratti). In questo contesto, gli usuali monomi con esponenti esclusivamente positivi sono detti interi.

Voci correlate

• Polinomio
• Rappresentazione monomiale

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