Estensione di anelli

In teoria degli anelli, una branca della matematica, un'estensione di anelli è una coppia di anelli (R, S) contenuti l'uno nell'altro, cioè $R\subseteq S$. Tale situazione si indicherà con R/S.

A partire da un'estensione di anelli R/S e da un sottoinsieme B di R, è possibile costruire il più piccolo sottoanello di R contenente sia S che B: tale anello si indica con S[B] e si può dimostrare che coincide con l’insieme delle possibili combinazioni di elementi di $S\cup A$ mediante le operazioni di anello (somma e prodotto) di R.

Se esiste un insieme finito $B=\{b_1,\ldots,b_n\}$ tale che $R=S[B]$ l’estensione R/S si dice finitamente generata.

Particolari tipi di estensioni di anelli sono le estensioni di campi. Si può provare che se R/K è un'estensione di anelli in cui K è un campo ed R=K[A] per qualche insieme A di elementi algebrici su K, allora anche R è un campo, precisamente il campo K(A) che si ottiene aggiungendo gli elementi di A a K, e dunque R/K è un'estensione di campi.

Voci correlate

• Anello
• Estensione di campi
• Algebra astratta
• Teoria degli anelli

Note

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