Classe di coniugio

In matematica e specialmente in teoria dei gruppi, gli elementi di un gruppo possono essere divisi in classi di coniugio; elementi di una stessa classe di coniugio condividono molte proprietà, e il loro studio nel caso di gruppi non abeliani può essere di aiuto per la comprensione della loro struttura. Nel caso di gruppi abeliani, al contrario, ogni classe di coniugio è formata da un singolo elemento del gruppo.

Definizione

Sia G un gruppo. Due elementi a e b di G sono detti coniugati se esiste un terzo elemento g in G tale che $gag^{-1} = b$. Si dimostra che la relazione di coniugio è una relazione di equivalenza, ed esiste quindi una partizione di G in classi di equivalenza dette classi di coniugio:

$Cl(a) = \{gag^{-1}: g\in G\}$

Proprietà

• L'unità appartiene sempre ad una propria classe di coniugio: $Cl(e) = \{e\}$
• Se G è abeliano, $Cl(a)=\{a\}$ per ogni a in G
• Se due elementi a e b appartengono alla stessa classe di coniugio, allora condividono lo stesso ordine
• Un elemento di G appartiene al centro Z(G) di G se e solo se la sua classe di coniugio è formata solo dall'elemento stesso
• Se due elementi a e b sono coniugati, allora lo sono anche le loro potenze di ordine k a^k b^k

Coniugio come azione di gruppi

Si può definire l'azione di coniugio come l'azione di G in sè stesso:

$g\cdot x = gxg^{-1}$

Le orbite dell'azione di coniugio non sono altro che le classi di coniugio, mentre lo stabilizzatore di ogni elemento è il suo centralizzatore.

Allo stesso modo si può definire l'azione di G sulla famiglia dei sottinsiemi o dei sottogruppi di G:

$g\cdot S = gSg^{-1} = \{gxg^{-1}:x \in S\}$

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