Campo ordinato

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In matematica, e più precisamente in algebra, un campo ordinato è un campo dotato di un ordinamento totale. Il concetto fu introdotto da Emil Artin nel 1927.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Un campo K dotato di un ordine totale ≤ è un campo ordinato se sono verificate le proprietà seguenti per ogni a, b, c nel campo:

  • se ab allora a + cb + c
  • se 0 ≤ a e 0 ≤ b, allora 0 ≤ a·b

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Altre relazioni[modifica | modifica sorgente]

Dagli assiomi seguono le proprietà seguenti, valide per ogni a, b, c, d in K:

  • Vale una delle due relazioni seguenti: −a ≤ 0 ≤ a oppure a ≤ 0 ≤ −a.
  • Le disuguaglianze possono essere sommate: se ab e cd, allora a + cb + d
  • Le disuguaglianze possono essere moltiplicate con elementi positivi: se ab e 0 ≤ c, allora a·cb·c.

Unità[modifica | modifica sorgente]

Il numero 1 è positivo. Infatti se per assurdo 1 non è positivo allora lo è −1, che implica a sua volta che 1 = (−1)(−1) è positivo.

Caratteristica[modifica | modifica sorgente]

Un campo ordinato ha caratteristica 0. Infatti 1 > 0 implica 1 + 1 > 0, quindi 1 + 1 + 1 > 0, ecc. e quindi non è possibile ottenere zero come 1 + 1... + 1.

Sottocampi[modifica | modifica sorgente]

Ogni sottocampo di un campo ordinato è un campo ordinato (con lo stesso ordinamento). Il più piccolo sottocampo è isomorfo al campo dei numeri razionali (questa proprietà è valida in tutti i campi a caratteristica zero), con il loro ordinamento standard.

Campo archimedeo[modifica | modifica sorgente]

Un campo ordinato si dice archimedeo se dati comunque due elementi x e y con 0<x<y esiste n \in \mathbb N tale che n  \cdot x > y.

Si dimostra che un campo è archimedeo se e solo se ogni suo elemento sta tra due elementi del sottocampo razionale. Ad esempio, il campo dei numeri reali è archimedeo, mentre quello dei numeri iperreali non lo è.

Se un campo ordinato non è archimedeo, esisteranno almeno due elementi (supponiamoli positivi, ma lo stesso discorso vale qualora fossero negativi, con le dovute modifiche) x, y, con y>x>0, tali che, scelto comunque un numero naturale n, si abbia n \cdot x < y; x si dice allora un infinitesimo. I campi non archimedei sono un concetto forse controintuitivo ma importante nell'Analisi non standard.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Esempi di campi ordinati sono i seguenti:

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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