Equazione di quarto grado

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Grafico della quartica di equazione
y=x⁴-10x³+35x²-50x+24

Si definisce equazione di quarto grado o quartica quell'equazione in cui il grado più alto dell'incognita è il quarto. Nella forma canonica, assume la forma

$x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0\;$

La prima soluzione generale dell'equazione di quarto grado si deve al matematico italiano Ludovico Ferrari, pubblicata però nel 1545 nell'Artis Magnae sive de regulis algebraicis di Gerolamo Cardano.
Dopo la pubblicazione del lavoro di Cardano, che conteneva anche il metodo risolutivo dell'equazione di terzo grado, si profuse grande impegno nel trovare le soluzioni generali di equazioni di quinto grado e superiore, ma invano: solo due secoli e mezzo dopo Ruffini ed Abel, a distanza di pochi decenni l`uno dall`altro, dimostrarono che non esistevano metodi risolutivi generali per equazioni di grado superiore al quarto.
Infatti i lavori di Paolo Ruffini del 1799, in maniera incompleta, e di Niels Abel nel 1824, in maniera esaustiva, costituiscono complessivamente quello oggi noto come Teorema di Abel-Ruffini. In particolare il torinese Lagrange trovò che l'equazione risolvente di un'equazione di quinto grado è un'equazione di sesto. Il tutto si ricollega, tramite i lavori di Lagrange, ai risultati di Galois nella teoria dei gruppi.

[modifica] Metodo risolutivo

Il metodo risolutivo è imperniato sulla risoluzione di un'equazione di terzo grado, detta risolvente. Poiché la formula è veramente lunga e complessa, si preferisce solitamente riportare il metodo risolutivo in forma di algoritmo, alla maniera del metodo babilonese per la risoluzione dell'equazione di secondo grado.

Per trovare la soluzione tramite il metodo della risolvente, l'equazione deve avere la forma

$1)\,\,\,\,\, x^4+px^2+q=rx$

La cosa è sempre possibile, in quanto ogni equazione nella forma

$z^4+az^3+bz^2+cz+ d=0\;$

si riconduce alla 1 ponendo

$z=x-\frac a 4$

Elenchiamo i passi da fare per ottenere la soluzione

Si porta il membro a sinistra ad essere il quadrato di un binomio. Per fare ciò, si aggiunge ad entrambi i membri dell'equazione la quantità $\left (2\sqrt q - p \right )x^2$ , ottenendo

$(x^2+ \sqrt q)^2 = rx + \left (2\sqrt q - p \right )x^2$
Si aggiunge ad entrambi i membri l'incognita y, e si porta il membro a sinistra ad essere il quadrato di un trinomio, aggiungendo le quantità opportune ad entrambi i membri:

$2)\,\,\,\,\,(x^2+ \sqrt q + y)^2 = (2 \sqrt q - p + 2y ) x^2+ rx +2y \sqrt q + y^2$
Si impone ora al membro a destra di essere il quadrato di un binomio in x e y, ossia si pone pari a zero il discriminante dell'equazione di secondo grado in x. Si ottiene così la risolvente di terzo grado, da cui si ricava la y:

$4 (2\sqrt q - p + 2y )(2y\sqrt q + y^2)-r^2=0$

$8y^3+ (24\sqrt q - 4 p)y^2 + (16 q - 8p\sqrt q)y -r^2=0$
Si sostituiscono le y trovate nella 2, e si estrae la radice quadrata di ambo i membri, cosa immediata per come è stata ricavata la y. Da questo passaggio si ottiene un'equazione di secondo grado.
Si risolve l'equazione di secondo grado, ottenendo due soluzioni per la x
Si divide l'equazione di partenza per le due radici trovate, e si estraggono le altre due radici.

Nel caso si sia dovuto eliminare il termine di terzo grado, occorre ovviamente sommare a tutte le radici un quarto del termine di terzo grado per ottenere le soluzioni dell'equazione di partenza.

I coefficienti $p, q, r$ della 1) sono date dal sistema:

$\left\{\begin{matrix} p = b - \frac{3}{8}a^2\\ r = \frac{1}{8}a^3 - \frac{1}{2}ab - c\\ q = -\frac{3}{256}a^4 + \frac{1}{16}a^2b - \frac{1}{4}ac + d \end{matrix}\right.$