Campo finito

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

(Reindirizzamento da Campo di Galois)

In algebra un campo finito è un campo che contiene un numero finito di elementi. I campi finiti sono importanti in teoria dei numeri, geometria algebrica, teoria di Galois, in crittografia e in teoria dei codici.

I campi finiti sono completamente classificati.

Indice

[modifica] Classificazione

I campi finiti sono classificati nel modo seguente:

  • Ogni campo finito ha pn elementi, per qualche numero primo p e qualche numero naturale n ≥ 1.
  • Per ogni numero primo p e naturale n ≥ 1, esiste un solo campo finito con pn elementi, a meno di isomorfismo.

Quindi, a meno di isomorfismi, esiste un solo campo con pn elementi; questo viene solitamente indicato con Fpn.

Ad esempio, esiste un campo finito F8 = F23 con 8 elementi, mentre non ne esiste nessuno con 6 elementi, perché 6 non è la potenza di un numero primo.

Il campo Fpn, essendo un anello, possiede una caratteristica che vale p.

[modifica] Classi di resto

Per n = 1, il campo Fp è il campo delle classi di resto modulo p, indicato normalmente con Z/pZ. Il gruppo soggiacente in questo caso è un gruppo ciclico di ordine p.

Per n > 1, il campo Fpn non è però isomorfo all'anello delle classi di resto Z/pnZ: quest'ultimo infatti è solo un anello, e non un campo. Il gruppo additivo soggiacente Fpn infatti non è ciclico, ma bensì isomorfo a

\begin{matrix} \underbrace{\mathbb{Z}/_{p\mathbb{Z}}\times\cdots\times \mathbb{Z}/_{p\mathbb{Z}}} \\ n \end{matrix}

[modifica] Costruzione di Fpn

Il campo Fpn è costruito come il campo di spezzamento del polinomio

p(x) = x^{p^n} - x

definito sul campo Z/pZ.

Infatti il campo di spezzamento è generato da alcuni elementi r_1,\ldots,r_q che spezzano il polinomio in

p(x) = (x-r_1)\dots (x-r_q).

Le radici ri sono distinte perché il polinomio p non ha radici multiple, in virtù del fatto che la sua derivata formale

qx^{q-1} - 1 \equiv -1 \mod p

non è mai nulla. Infine, le radici r_1, \ldots, r_q formano esse stesse un campo, della cardinalità desiderata, che quindi coincide con il campo di spezzamento.

[modifica] Dimostrazione della classificazione

La dimostrazione procede nel modo seguente. Sia K un campo finito.

  1. Poiché finito, ha caratteristica non nulla. Poiché è un dominio d'integrità, la caratteristica è un numero primo p.
  2. L'elemento 1 genera (additivamente) un sottocampo con p elementi, isomorfo quindi a Z/pZ. Quindi K è uno spazio vettoriale su questo sottocampo.
  3. Poiché K è finito, è uno spazio vettoriale di dimensione finita n. Quindi contiene pn elementi.
  4. L'unicità del campo a meno di isomorfismi segue dall'unicità del campo di spezzamento.

[modifica] Proprietà

[modifica] Automorfismi

Se F è un campo con q = pn elementi, allora

xq = x

per ogni x in F. Inoltre la mappa

f: F \to F
f(x) = xp

è un isomorfismo (e quindi un automorfismo), chiamato automorfismo di Frobenius, in nome del matematico Ferdinand Georg Frobenius. L'automorfismo ha ordine n.

[modifica] Sottocampi

Il campo Fpn contiene una copia di Fpm se e solo se m divide n.

[modifica] I campi finiti più piccoli

Descriviamo le operazioni di somma e prodotto nei campi finiti di ordine 2, 3 e 4.

F2:

 + | 0 1        · | 0 1
 --+----        --+----
 0 | 0 1        0 | 0 0
 1 | 1 0        1 | 0 1

F3:

 + | 0 1 2       · | 0 1 2
 --+------       --+------
 0 | 0 1 2       0 | 0 0 0
 1 | 1 2 0       1 | 0 1 2
 2 | 2 0 1       2 | 0 2 1

F4:

 + | 0 1 A B       · | 0 1 A B
 --+--------       --+--------
 0 | 0 1 A B       0 | 0 0 0 0
 1 | 1 0 B A       1 | 0 1 A B
 A | A B 0 1       A | 0 A B 1
 B | B A 1 0       B | 0 B 1 A

[modifica] Voci correlate

Estratto da "http://it.wikipedia.org/wiki/Campo_finito"
Strumenti personali