Il grafico di un polinomio di quinto grado. In matematica , si definisce equazione di quinto grado un'equazione polinomiale in cui il grado massimo dell'incognita è il quinto. Nella forma canonica, si presenta come
a
x
5
+
b
x
4
+
c
x
3
+
d
x
2
+
e
x
+
f
=
0
,
{\displaystyle ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0,}
dove
x
{\displaystyle x}
variabile incognita, e
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
d
{\displaystyle d}
e
{\displaystyle e}
f
{\displaystyle f}
numeri reali con
a
≠
0.
{\displaystyle a\neq 0.}
Il teorema fondamentale dell'algebra implica che ogni equazione di quinto grado abbia esattamente cinque soluzioni nei numeri complessi , se contate con molteplicità e, per vari secoli, la ricerca di una formula risolutiva per queste equazioni è stata uno dei problemi matematici più studiati.
Già nel sedicesimo secolo erano state scoperte formule che forniscono le soluzioni delle generiche equazioni di terzo e quarto grado in termini solo di somme , sottrazioni , moltiplicazioni , divisioni e radicali dei coefficienti delle equazioni.
La ricerca di formule risolutive si è in seguito spostata verso le equazioni di quinto grado, ma il problema è rimasto insoluto sino a quando, nel 1824 , Niels Henrik Abel completò una dimostrazione parziale di Paolo Ruffini , provando che una tale formula risolutiva non può esistere (tale teorema è noto come teorema di Abel-Ruffini ).
Negli anni seguenti Évariste Galois iniziò lo sviluppo della teoria di Galois , mettendo in relazione la solubilità per radicali di un'equazione con alcune proprietà di un gruppo di permutazioni delle radici associato all'equazione: più specificamente, si scoprì che un'equazione è risolubile per radicali se, e solo se, il gruppo di Galois associato ad essa è risolubile .
Tutti i gruppi di Galois associati a equazioni di grado inferiore al quinto sono risolubili e, dunque, tali equazioni sono tutte risolubili per radicali, mentre ciò non è sempre vero per le equazioni di grado quinto o superiore (ad esempio, il gruppo di Galois associato all'equazione
x
5
−
x
+
1
=
0
{\displaystyle x^{5}-x+1=0}
Per le applicazioni pratiche, tuttavia, non sono generalmente necessarie le soluzioni esatte di un'equazione, ma solo una loro approssimazione. Queste possono essere ricercate, con metodi numerici , quali i classici metodi per calcolare gli zeri di una funzione , o impiegando i più specifici metodi di Jenkins-Traub e di Laguerre .
Durante il diciannovesimo secolo diversi matematici, tra cui il francese Charles Hermite , il tedesco Leopold Kronecker e l'italiano Francesco Brioschi , svilupparono formule esplicite per la soluzione di equazioni di quinto grado facendo cadere l'ipotesi dell'utilizzo delle sole funzioni elementari, in particolare le funzioni ellittiche si dimostrarono strumenti idonei alla formulazione delle formule esplicite. Fu infine Felix Klein che riuscì a collegare tali formule con le simmetrie dell'icosaedro derivando da esso per altro risultati di rilievo anche per ciò che concerne le equazioni di grado 7 e 11.
Erland Samuel Bring Se un'equazione di quinto grado[1] Carl David Tolmé Runge , John Stuart Glashan e George Paxton Young stabilirono una formula di parametrizzazione per la forma Bring-Jerrard, che può sempre essere risolta con espressioni matematiche elementari:
x
5
+
5
μ
4
(
4
ν
+
3
)
ν
2
+
1
x
=
4
μ
5
(
2
ν
+
1
)
(
4
ν
+
3
)
ν
2
+
1
.
{\displaystyle x^{5}+{\frac {5\mu ^{4}(4\nu +3)}{\nu ^{2}+1}}x={\frac {4\mu ^{5}(2\nu +1)(4\nu +3)}{\nu ^{2}+1}}.}
L'espressione seguente risolve l'equazione precedente:
x
=
2
μ
20
ν
+
15
5
ν
2
+
1
4
cosh
(
1
5
arcosh
[
125
ν
2
+
1
4
(
2
ν
2
+
1
+
2
ν
−
1
)
(
20
ν
+
15
)
3
/
2
]
)
−
2
μ
20
ν
+
15
5
ν
2
+
1
4
sinh
(
1
5
arsinh
[
125
ν
2
+
1
4
(
2
ν
2
+
1
−
2
ν
+
1
)
(
20
ν
+
15
)
3
/
2
]
)
.
{\displaystyle x={\frac {2\mu {\sqrt {20\nu +15}}}{5{\sqrt[{4}]{\nu ^{2}+1}}}}\cosh {\biggl (}{\frac {1}{5}}\operatorname {arcosh} {\biggl [}{\frac {125{\sqrt[{4}]{\nu ^{2}+1}}(2{\sqrt {\nu ^{2}+1}}+2\nu -1)}{(20\nu +15)^{3/2}}}{\biggr ]}{\biggr )}-{\frac {2\mu {\sqrt {20\nu +15}}}{5{\sqrt[{4}]{\nu ^{2}+1}}}}\sinh {\biggl (}{\frac {1}{5}}\operatorname {arsinh} {\biggl [}{\frac {125{\sqrt[{4}]{\nu ^{2}+1}}(2{\sqrt {\nu ^{2}+1}}-2\nu +1)}{(20\nu +15)^{3/2}}}{\biggr ]}{\biggr )}.}
Questo è un esempio di un'equazione basata su questo modello con la sua soluzione reale associata per il caso
μ
=
1
{\displaystyle \mu =1}
ν
=
0
{\displaystyle \nu =0}
x
5
+
15
x
=
12
,
{\displaystyle x^{5}+15x=12,}
x
=
2
5
15
cosh
[
1
5
arcosh
(
5
9
15
)
]
−
2
5
15
sinh
[
1
5
arsinh
(
5
3
15
)
]
.
{\displaystyle x={\tfrac {2}{5}}{\sqrt {15}}\cosh[{\tfrac {1}{5}}\operatorname {arcosh} ({\tfrac {5}{9}}{\sqrt {15}})]-{\tfrac {2}{5}}{\sqrt {15}}\sinh[{\tfrac {1}{5}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {5}{3}}{\sqrt {15}})].}
La seguente coppia di equazione e soluzione può essere prodotta dall'equazione parametro menzionata con l'aiuto di una trasformazione:
x
5
+
x
=
2
5
y
−
5
/
4
(
1
+
y
−
y
2
)
2
+
2
y
2
10
+
15
y
−
10
y
2
4
,
{\displaystyle x^{5}+x={\frac {2}{5}}y^{-5/4}{\frac {(1+y-y^{2}){\sqrt {2+2y^{2}}}}{\sqrt[{4}]{10+15y-10y^{2}}}},}
x
=
2
5
y
−
1
/
4
10
+
15
y
−
10
y
2
4
cosh
(
1
5
arcosh
[
5
5
+
5
y
2
(
1
+
2
y
)
4
+
6
y
−
4
y
2
]
)
−
2
5
y
−
1
/
4
10
+
15
y
−
10
y
2
4
sinh
(
1
5
arsinh
[
5
y
5
+
5
y
2
(
2
−
y
)
4
+
6
y
−
4
y
2
]
)
.
{\displaystyle x={\frac {2}{5}}y^{-1/4}{\sqrt[{4}]{10+15y-10y^{2}}}\cosh {\biggl (}{\frac {1}{5}}\operatorname {arcosh} {\biggl [}{\frac {5{\sqrt {5+5y^{2}}}}{(1+2y){\sqrt {4+6y-4y^{2}}}}}{\biggr ]}{\biggr )}-{\frac {2}{5}}y^{-1/4}{\sqrt[{4}]{10+15y-10y^{2}}}\sinh {\biggl (}{\frac {1}{5}}\operatorname {arsinh} {\biggl [}{\frac {5y{\sqrt {5+5y^{2}}}}{(2-y){\sqrt {4+6y-4y^{2}}}}}{\biggr ]}{\biggr )}.}
Questa soluzione vale per tutti i valori reali
0
<
y
<
2.
{\displaystyle 0<y<2.}
Algoritmo di soluzione mediante funzioni ellittiche [ modifica | modifica wikitesto ] Carl Gustav Jacobi Viene fornita la seguente forma di equazione generalizzata[2]
x
5
+
x
=
w
,
{\displaystyle x^{5}+x=w,}
x
=
2
5
y
−
1
/
4
10
+
15
y
−
10
y
2
4
cosh
(
1
5
arcosh
[
5
5
+
5
y
2
(
1
+
2
y
)
4
+
6
y
−
4
y
2
]
)
−
2
5
y
−
1
/
4
10
+
15
y
−
10
y
2
4
sinh
(
1
5
arsinh
[
5
y
5
+
5
y
2
(
2
−
y
)
4
+
6
y
−
4
y
2
]
)
,
{\displaystyle x={\frac {2}{5}}y^{-1/4}{\sqrt[{4}]{10+15y-10y^{2}}}\cosh {\biggl (}{\frac {1}{5}}{\text{arcosh}}{\biggl [}{\frac {5{\sqrt {5+5y^{2}}}}{(1+2y){\sqrt {4+6y-4y^{2}}}}}{\biggr ]}{\biggr )}-{\frac {2}{5}}y^{-1/4}{\sqrt[{4}]{10+15y-10y^{2}}}\sinh {\biggl (}{\frac {1}{5}}\operatorname {arsinh} {\biggl [}{\frac {5y{\sqrt {5+5y^{2}}}}{(2-y){\sqrt {4+6y-4y^{2}}}}}{\biggr ]}{\biggr )},}
y
=
5
ϑ
00
(
q
(
ctlh
[
1
2
aclh
(
5
4
5
4
w
)
]
2
)
5
)
2
2
ϑ
00
(
q
(
ctlh
[
1
2
aclh
(
5
4
5
4
w
)
]
2
)
)
2
−
1
2
.
{\displaystyle y={\frac {5\vartheta _{00}{\bigl (}q(\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}w)]^{2})^{5}{\bigr )}^{2}}{2\vartheta _{00}{\bigl (}q(\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}w)]^{2}){\bigr )}^{2}}}-{\frac {1}{2}}.}
Il metodo di soluzione appena menzionato è spiegato di seguito. Nell'ultima equazione della sezione precedente, il lato destro della scala dell'equazione era espresso con la lettera
w
{\displaystyle w}
w
=
2
5
y
−
5
/
4
(
1
+
y
−
y
2
)
2
+
2
y
2
10
+
15
y
−
10
y
2
4
.
{\displaystyle w={\frac {2}{5}}y^{-5/4}{\frac {(1+y-y^{2}){\sqrt {2+2y^{2}}}}{\sqrt[{4}]{10+15y-10y^{2}}}}.}
L'equazione che sorge esattamente in questo modo e che ora viene menzionata può quindi essere trasformata aritmeticamente:
(
2
y
5
−
y
6
1
+
2
y
)
1
/
2
=
3125
256
w
4
+
1
−
25
16
5
w
2
{\displaystyle {\bigl (}{\frac {2y^{5}-y^{6}}{1+2y}}{\bigr )}^{1/2}={\sqrt {{\frac {3125}{256}}w^{4}+1}}-{\frac {25}{16}}{\sqrt {5}}w^{2}}
(
2
y
5
−
y
6
1
+
2
y
)
1
/
2
=
sin
(
2
arcsin
[
(
50
5
w
2
+
32
+
2
3125
w
4
+
256
)
−
1
/
2
(
3125
w
4
+
256
+
16
+
5
5
4
w
)
]
)
{\displaystyle {\bigl (}{\frac {2y^{5}-y^{6}}{1+2y}}{\bigr )}^{1/2}=\sin {\bigl (}2\arcsin {\bigl [}{\bigl (}50{\sqrt {5}}w^{2}+32+2{\sqrt {3125w^{4}+256}}{\bigr )}^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {3125w^{4}+256}}+16}}+5{\sqrt[{4}]{5}}w{\bigr )}{\bigr ]}{\bigr )}}
y
=
5
ϑ
00
(
q
[
(
50
5
w
2
+
32
+
2
3125
w
4
+
256
)
−
1
/
2
(
3125
w
4
+
256
+
16
+
5
5
4
w
)
]
5
)
2
2
ϑ
00
(
q
[
(
50
5
w
2
+
32
+
2
3125
w
4
+
256
)
−
1
/
2
(
3125
w
4
+
256
+
16
+
5
5
4
w
)
]
)
2
−
1
2
{\displaystyle y={\frac {5\vartheta _{00}{\bigl (}q{\bigl [}{\bigl (}50{\sqrt {5}}w^{2}+32+2{\sqrt {3125w^{4}+256}}{\bigr )}^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {3125w^{4}+256}}+16}}+5{\sqrt[{4}]{5}}w{\bigr )}{\bigr ]}^{5}{\bigr )}^{2}}{2\vartheta _{00}{\bigl (}q{\bigl [}{\bigl (}50{\sqrt {5}}w^{2}+32+2{\sqrt {3125w^{4}+256}}{\bigr )}^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {3125w^{4}+256}}+16}}+5{\sqrt[{4}]{5}}w{\bigr )}{\bigr ]}{\bigr )}^{2}}}-{\frac {1}{2}}}
y
=
5
ϑ
00
(
q
(
ctlh
[
1
2
aclh
(
5
4
5
4
w
)
]
2
)
5
)
2
2
ϑ
00
(
q
(
ctlh
[
1
2
aclh
(
5
4
5
4
w
)
]
2
)
)
2
−
1
2
.
{\displaystyle y={\frac {5\vartheta _{00}{\bigl (}q(\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}w)]^{2})^{5}{\bigr )}^{2}}{2\vartheta _{00}{\bigl (}q(\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}w)]^{2}){\bigr )}^{2}}}-{\frac {1}{2}}.}
La trasformazione del sistema di equazioni mostra la soluzione di una specifica equazione di sesto grado, che generalmente può essere risolta nel modo appena descritto utilizzando la funzione theta ellittica secondo Carl Jacobi :
ϑ
00
(
z
)
=
1
+
2
∑
k
=
1
∞
z
k
2
,
{\displaystyle \vartheta _{00}(z)=1+2\sum _{k=1}^{\infty }z^{k^{2}},}
ϑ
00
(
z
)
=
∏
k
=
1
∞
(
1
−
z
2
k
)
(
1
+
z
2
k
−
1
)
2
.
{\displaystyle \vartheta _{00}(z)=\prod _{k=1}^{\infty }(1-z^{2k})(1+z^{2k-1})^{2}.}
La funzione mostrata con la lettera
q
{\displaystyle q}
q
(
ε
)
=
exp
[
−
π
K
(
1
−
ε
2
)
K
(
ε
)
−
1
]
,
{\displaystyle q(\varepsilon )=\exp[-\pi K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})K(\varepsilon )^{-1}],}
E la lettera
K
{\displaystyle K}
integrale ellittico completo del primo tipo:
K
(
r
)
=
∫
0
π
/
2
1
1
−
r
2
sin
(
φ
)
2
d
φ
.
{\displaystyle K(r)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\sqrt {1-r^{2}\sin(\varphi )^{2}}}}\mathrm {d} \varphi .}
Le abbreviazioni
c
t
l
h
{\displaystyle \mathrm {ctlh} }
a
c
l
h
{\displaystyle \mathrm {aclh} }
[3]
sl
{\displaystyle \operatorname {sl} }
cl
{\displaystyle \operatorname {cl} }
sl
(
φ
)
=
tan
(
2
arctan
(
4
G
sin
(
φ
G
)
∑
k
=
1
∞
cosh
[
(
2
k
−
1
)
π
]
cosh
[
(
2
k
−
1
)
π
]
2
−
cos
(
φ
/
G
)
2
)
)
;
{\displaystyle \operatorname {sl} (\varphi )=\tan {\biggl (}2\arctan {\biggl (}{\frac {4}{G}}\sin {\bigl (}{\frac {\varphi }{G}}{\bigr )}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cosh[(2k-1)\pi ]}{\cosh[(2k-1)\pi ]^{2}-\cos(\varphi /G)^{2}}}{\biggr )}{\biggr )};}
cl
(
φ
)
=
tan
(
2
arctan
(
4
G
cos
(
φ
G
)
∑
k
=
1
∞
cosh
[
(
2
k
−
1
)
π
]
cosh
[
(
2
k
−
1
)
π
]
2
−
sin
(
φ
/
G
)
2
)
)
;
{\displaystyle \operatorname {cl} (\varphi )=\tan {\biggl (}2\arctan {\biggl (}{\frac {4}{G}}\cos {\bigl (}{\frac {\varphi }{G}}{\bigr )}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cosh[(2k-1)\pi ]}{\cosh[(2k-1)\pi ]^{2}-\sin(\varphi /G)^{2}}}{\biggr )}{\biggr )};}
ctlh
(
ϱ
)
=
cl
(
2
2
ϱ
)
(
sl
(
2
2
ϱ
)
2
+
1
sl
(
2
2
ϱ
)
2
+
cl
(
2
2
ϱ
)
2
)
1
/
2
;
{\displaystyle \operatorname {ctlh} (\varrho )=\operatorname {cl} ({\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\varrho )\left({\frac {\operatorname {sl} ({\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\varrho )^{2}+1}{\operatorname {sl} ({\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\varrho )^{2}+\operatorname {cl} ({\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\varrho )^{2}}}\right)^{1/2};}
aclh
(
s
)
=
1
2
2
π
G
−
∫
0
1
s
s
4
t
4
+
1
d
t
;
{\displaystyle \operatorname {aclh} (s)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\pi G-\int _{0}^{1}{\frac {s}{\sqrt {s^{4}t^{4}+1}}}\,\mathrm {d} t;}
la lettera
G
{\displaystyle G}
costante di Gauss e questo numero può essere definito dalla funzione gamma:
G
=
2
π
2
Γ
(
3
4
)
−
2
.
{\displaystyle G={\frac {\sqrt {2\pi }}{2}}\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)^{-2}.}
Le funzioni lemniscatiche soddisfano le seguenti relazioni:
(
sl
(
φ
)
2
+
1
)
(
cl
(
φ
)
2
+
1
)
=
2
;
{\displaystyle (\operatorname {sl} (\varphi )^{2}+1)(\operatorname {cl} (\varphi )^{2}+1)=2;}
ctlh
(
1
2
aclh
(
s
)
)
2
=
(
2
s
2
+
2
+
2
s
4
+
1
)
−
1
/
2
(
s
4
+
1
+
1
+
s
)
;
{\displaystyle \operatorname {ctlh} \left({\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (s)\right)^{2}=(2s^{2}+2+2{\sqrt {s^{4}+1}})^{-1/2}({\sqrt {{\sqrt {s^{4}+1}}+1}}+s);}
sl
(
2
2
aclh
(
s
)
)
=
s
4
+
1
−
s
2
.
{\displaystyle \operatorname {sl} {\bigl (}{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\operatorname {aclh} (s){\bigr )}={\sqrt {{\sqrt {s^{4}+1}}-s^{2}}}.}
Srinivasa Ramanujan Iyangar (श्रीनिवास रामानुजन इयंगर) La frazione continua di Rogers-Ramanujan[4] simbolo di Pochhammer nel modo seguente:
R
(
z
)
=
z
1
/
5
(
z
;
z
5
)
∞
(
z
4
;
z
5
)
∞
(
z
2
;
z
5
)
∞
(
z
3
;
z
5
)
∞
=
z
1
/
5
∏
k
=
0
∞
(
1
−
z
5
k
+
1
)
(
1
−
z
5
k
+
4
)
(
1
−
z
5
k
+
2
)
(
1
−
z
5
k
+
3
)
.
{\displaystyle R(z)=z^{1/5}{\frac {(z;z^{5})_{\infty }(z^{4};z^{5})_{\infty }}{(z^{2};z^{5})_{\infty }(z^{3};z^{5})_{\infty }}}=z^{1/5}\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {(1-z^{5k+1})(1-z^{5k+4})}{(1-z^{5k+2})(1-z^{5k+3})}}.}
Questa funzione
R
(
z
)
{\displaystyle R(z)}
S
(
z
)
{\displaystyle S(z)}
R
(
z
)
=
tan
(
1
2
arctan
(
ϑ
00
(
z
1
/
2
)
2
2
ϑ
00
(
z
5
/
2
)
2
−
1
2
)
)
2
/
5
tan
(
1
2
arccot
(
ϑ
00
(
z
1
/
2
)
2
2
ϑ
00
(
z
5
/
2
)
2
−
1
2
)
)
1
/
5
,
{\displaystyle R(z)=\tan {\biggl (}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl (}{\frac {\vartheta _{00}(z^{1/2})^{2}}{2\vartheta _{00}(z^{5/2})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr )}{\biggr )}^{2/5}\tan {\biggl (}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl (}{\frac {\vartheta _{00}(z^{1/2})^{2}}{2\vartheta _{00}(z^{5/2})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr )}{\biggr )}^{1/5},}
S
(
z
)
=
tan
(
1
2
arctan
(
ϑ
00
(
z
)
2
2
ϑ
00
(
z
5
)
2
−
1
2
)
)
1
/
5
cot
(
1
2
arccot
(
ϑ
00
(
z
)
2
2
ϑ
00
(
z
5
)
2
−
1
2
)
)
2
/
5
,
{\displaystyle S(z)=\tan {\biggl (}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl (}{\frac {\vartheta _{00}(z)^{2}}{2\vartheta _{00}(z^{5})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr )}{\biggr )}^{1/5}\cot {\biggl (}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl (}{\frac {\vartheta _{00}(z)^{2}}{2\vartheta _{00}(z^{5})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr )}{\biggr )}^{2/5},}
e soddisfano le seguenti proprietà:
R
(
z
2
)
=
tan
(
1
2
arctan
(
ϑ
00
(
z
)
2
2
ϑ
00
(
z
5
)
2
−
1
2
)
)
2
/
5
tan
(
1
2
arccot
(
ϑ
00
(
z
)
2
2
ϑ
00
(
z
5
)
2
−
1
2
)
)
1
/
5
,
{\displaystyle R(z^{2})=\tan {\biggl (}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl (}{\frac {\vartheta _{00}(z)^{2}}{2\vartheta _{00}(z^{5})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr )}{\biggr )}^{2/5}\tan {\biggl (}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl (}{\frac {\vartheta _{00}(z)^{2}}{2\vartheta _{00}(z^{5})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr )}{\biggr )}^{1/5},}
S
(
z
)
=
R
(
z
4
)
R
(
z
2
)
R
(
z
)
.
{\displaystyle S(z)={\frac {R(z^{4})}{R(z^{2})R(z)}}.}
Dall'algoritmo risolutivo descritto nel paragrafo precedente, sulla base delle definizioni ora citate, si può ricavare la seguente formula risolutiva valida per tutti i valori
w
{\displaystyle w}
x
5
+
x
=
w
,
{\displaystyle x^{5}+x=w,}
x
=
S
(
q
(
ctlh
[
1
2
aclh
(
5
4
5
4
w
)
]
2
)
)
2
−
R
(
q
(
ctlh
[
1
2
aclh
(
5
4
5
4
w
)
]
2
)
2
)
S
(
q
(
ctlh
[
1
2
aclh
(
5
4
5
4
w
)
)
2
)
)
2
×
{\displaystyle x={\frac {S{\bigl (}q(\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}){\bigr )}^{2}-R{\bigl (}q(\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}w)]^{2})^{2}{\bigr )}}{S{\bigl (}q(\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}w))^{2}){\bigr )}^{2}}}\times }
×
1
−
R
(
q
(
ctlh
(
1
2
aclh
(
5
4
5
4
w
)
]
2
)
2
)
S
(
q
(
ctlh
[
1
2
aclh
(
5
4
5
4
w
)
]
2
)
)
R
(
q
(
ctlh
[
1
2
aclh
(
5
4
5
4
w
)
]
2
)
2
)
2
×
{\displaystyle \times {\frac {1-R{\bigl (}q(\operatorname {ctlh} ({\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}w)]^{2})^{2}{\bigr )}S{\bigl (}q(\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}w)]^{2}){\bigr )}}{R{\bigl (}q(\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}w)]^{2})^{2}{\bigr )}^{2}}}\times }
×
ϑ
00
(
q
(
ctlh
[
1
2
aclh
(
5
4
5
4
w
)
]
2
)
5
)
ϑ
00
(
q
(
ctlh
[
1
2
aclh
(
5
4
5
4
w
)
]
2
)
1
/
5
)
2
−
5
ϑ
00
(
q
(
ctlh
[
1
2
aclh
(
5
4
5
4
w
)
]
2
)
5
)
3
2
20
4
sl
(
2
2
aclh
(
5
4
5
4
w
)
)
ϑ
00
(
q
(
ctlh
[
1
2
aclh
(
5
4
5
4
w
)
]
2
)
)
3
.
{\displaystyle \times {\frac {\vartheta _{00}{\bigl (}q(\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}w)]^{2})^{5}{\bigr )}\vartheta _{00}{\bigl (}q(\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}w)]^{2})^{1/5}{\bigr )}^{2}-5\vartheta _{00}{\bigl (}q(\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}w)]^{2})^{5}{\bigr )}^{3}}{2{\sqrt[{4}]{20}}\operatorname {sl} {\bigl (}{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}w){\bigr )}\vartheta _{00}{\bigl (}q(\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}w)]^{2}){\bigr )}^{3}}}.}
Il più piccolo numero intero positivo
w
{\displaystyle w}
x
5
+
x
=
3
,
{\displaystyle x^{5}+x=3,}
x
=
S
(
q
(
ctlh
[
1
2
aclh
(
15
4
5
4
)
]
2
)
)
2
−
R
(
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
15
4
5
4
)
]
2
}
2
)
S
(
q
(
ctlh
[
1
2
aclh
(
15
4
5
4
)
]
2
)
)
2
×
{\displaystyle x={\frac {S{\bigl (}q(\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}){\bigr )}^{2}-R{\bigl (}q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}^{2}{\bigr )}}{S{\bigl (}q(\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}){\bigr )}^{2}}}\times }
×
1
−
R
(
q
(
ctlh
[
1
2
aclh
(
15
4
5
4
)
]
2
)
2
)
S
(
q
(
ctlh
[
1
2
aclh
(
15
4
5
4
)
]
2
)
)
R
(
q
(
ctlh
[
1
2
aclh
(
15
4
5
4
)
]
2
)
2
)
2
×
{\displaystyle \times {\frac {1-R{\bigl (}q(\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2})^{2}{\bigr )}S{\bigl (}q(\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}){\bigr )}}{R{\bigl (}q(\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2})^{2}{\bigr )}^{2}}}\times }
×
ϑ
00
(
q
(
ctlh
[
1
2
aclh
(
15
4
5
4
)
]
2
)
5
)
ϑ
00
(
q
(
ctlh
[
1
2
aclh
(
15
4
5
4
)
]
2
)
1
/
5
)
2
−
5
ϑ
00
(
q
(
ctlh
[
1
2
aclh
(
15
4
5
4
)
]
2
)
5
)
3
2
20
4
sl
(
2
2
aclh
(
15
4
5
4
)
)
ϑ
00
(
q
(
ctlh
[
1
2
aclh
(
15
4
5
4
)
]
2
)
)
3
,
{\displaystyle \times {\frac {\vartheta _{00}{\bigl (}q(\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2})^{5}{\bigr )}\vartheta _{00}{\bigl (}q(\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2})^{1/5}{\bigr )}^{2}-5\vartheta _{00}{\bigl (}q(\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2})^{5}{\bigr )}^{3}}{2{\sqrt[{4}]{20}}\operatorname {sl} {\bigl (}{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}){\bigr )}\vartheta _{00}{\bigl (}q(\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}){\bigr )}^{3}}},}
q
(
ctlh
[
1
2
aclh
(
15
4
5
4
)
]
2
)
≈
0
,
452374059450344348576600264284387826377845763909
,
{\displaystyle q(\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2})\approx 0,452374059450344348576600264284387826377845763909,}
x
≈
1
,
132997565885065266721141634288532379816526027727.
{\displaystyle x\approx 1,132997565885065266721141634288532379816526027727.}
Un altro esempio per il quale la soluzione reale non può essere rappresentata in forma elementare si ha per
w
=
7
{\displaystyle w=7}
x
5
+
x
=
7
,
{\displaystyle x^{5}+x=7,}
x
=
S
(
q
(
ctlh
[
1
2
aclh
(
35
4
5
4
)
]
2
)
)
2
−
R
(
q
(
ctlh
[
1
2
aclh
(
35
4
5
4
)
]
2
)
2
)
S
(
q
(
ctlh
[
1
2
aclh
(
35
4
5
4
)
]
2
)
)
2
×
{\displaystyle x={\frac {S{\bigl (}q(\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {35}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}){\bigr )}^{2}-R{\bigl (}q(\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {35}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2})^{2}{\bigr )}}{S{\bigl (}q(\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {35}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}){\bigr )}^{2}}}\times }
×
1
−
R
(
q
(
ctlh
[
1
2
aclh
(
35
4
5
4
)
]
2
)
2
)
S
(
q
(
ctlh
[
1
2
aclh
(
35
4
5
4
)
]
2
)
)
R
(
q
(
ctlh
[
1
2
aclh
(
35
4
5
4
)
]
2
)
2
)
2
×
{\displaystyle \times {\frac {1-R{\bigl (}q(\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {35}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2})^{2}{\bigr )}S{\bigl (}q(\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {35}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}){\bigr )}}{R{\bigl (}q(\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {35}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2})^{2}{\bigr )}^{2}}}\times }
×
ϑ
00
(
q
(
ctlh
[
1
2
aclh
(
35
4
5
4
)
]
2
)
5
)
ϑ
00
(
q
(
ctlh
[
1
2
aclh
(
35
4
5
4
)
]
2
)
1
/
5
)
2
−
5
ϑ
00
(
q
(
ctlh
[
1
2
aclh
(
35
4
5
4
)
]
2
)
5
)
3
2
20
4
sl
(
2
2
aclh
(
35
4
5
4
)
)
ϑ
00
(
q
(
ctlh
[
1
2
aclh
(
35
4
5
4
)
]
2
)
)
3
,
{\displaystyle \times {\frac {\vartheta _{00}{\bigl (}q(\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {35}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2})^{5}{\bigr )}\vartheta _{00}{\bigl (}q(\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {35}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2})^{1/5}{\bigr )}^{2}-5\vartheta _{00}{\bigl (}q(\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {35}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2})^{5}{\bigr )}^{3}}{2{\sqrt[{4}]{20}}\operatorname {sl} {\bigl (}{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {35}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}){\bigr )}\vartheta _{00}{\bigl (}q(\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {35}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}){\bigr )}^{3}}},}
q
(
ctlh
[
1
2
aclh
(
35
4
5
4
)
]
2
)
≈
0
,
53609630892200161460073096549143569900990236
,
{\displaystyle q(\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {35}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2})\approx 0,53609630892200161460073096549143569900990236,}
x
≈
1
,
4108138510595771319852918753499397839215989.
{\displaystyle x\approx 1,4108138510595771319852918753499397839215989.}
^ (EN Bring-Jerrard Quintic Form mathworld.wolfram.com . URL consultato il 29 gennaio 2022 . ^ F. Brioschi, Sulla risoluzione delle equazioni del quinto grado: Hermite — Sur la résolution de l'Équation du cinquiéme degré Comptes rendus —. N. 11. Mars. 1858 DOI :10.1007/bf03197334 . URL consultato il 29 gennaio 2022 . ^ Ji-En Deng e Chao-Ping Chen, Sharp Shafer-Fink type inequalities for Gauss lemniscate functions Journal of Inequalities and Applications , vol. 2014, n. 1, 24 gennaio 2014, pp. 35, DOI :10.1186/1029-242X-2014-35 . URL consultato il 29 gennaio 2022 . ^ (EN Rogers-Ramanujan Continued Fraction mathworld.wolfram.com . URL consultato il 29 gennaio 2022 . Guido Zappa , Storia della risoluzione delle equazioni di quinto e sesto grado, con particolare rilievo sui contributi di Francesco Brioschi [collegamento interrotto , in Milan Journal of Mathematics , vol. 65, n. 1, dicembre 1995, pp. 89-107, DOI :10.1007/BF02925254 . Carl Boyer , Storia della matematica ISBN 8804334312 .Italo Ghersi Matematica dilettevole e curiosa Hoepli , 1988, quinta edizione.(EN Galois theory for beginners: A historical perspective , American Mathematical Society , 2006, ISBN 0-8218-3817-2 , Chapter 8 (The solution of equations of the fifth degree ).
Francesco Brioschi: Sulla risoluzione delle equazioni del quinto grado: Hermite – Sur la résolution de l’Équation du cinquiéme degré Comptes rendus –. N. 11. Mars. 1858. 1, dicembre 1858, p. 258 doi:10.1007/bf03197334
George Paxton Young: Solution of Solvable Irreducible Quintic Equations, Without the Aid of a Resolvent Sextic, American Journal of Mathematics, vol. 7, 1885. pp. 170–177.
Carl Runge: Über die auflösbaren Gleichungen von der Form x⁵+ux+v=0, Acta Mathematica, vol. 7, 1885. S. 173–186, doi:10.1007/BF02402200.
Felix Klein: Über die Transformation der elliptischen Funktionen und die Auflösung der Gleichungen fünften Grades . Annali matematici, vol. 14, 1879, pp. 111–144.
Felix Klein: Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade , B. G. Teubner, Lipsia 1884.
Viktor Prasolov, Yuri Solovyev: Elliptic Functions and Elliptic Integrals . American Mathematical Society, Translation of Mathematical Monographs, vol. 170, Rhode Island, 1991, pp. 149–159. 
![{\displaystyle x={\frac {2\mu {\sqrt {20\nu +15}}}{5{\sqrt[{4}]{\nu ^{2}+1}}}}\cosh {\biggl (}{\frac {1}{5}}\operatorname {arcosh} {\biggl [}{\frac {125{\sqrt[{4}]{\nu ^{2}+1}}(2{\sqrt {\nu ^{2}+1}}+2\nu -1)}{(20\nu +15)^{3/2}}}{\biggr ]}{\biggr )}-{\frac {2\mu {\sqrt {20\nu +15}}}{5{\sqrt[{4}]{\nu ^{2}+1}}}}\sinh {\biggl (}{\frac {1}{5}}\operatorname {arsinh} {\biggl [}{\frac {125{\sqrt[{4}]{\nu ^{2}+1}}(2{\sqrt {\nu ^{2}+1}}-2\nu +1)}{(20\nu +15)^{3/2}}}{\biggr ]}{\biggr )}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84ab33506ab6131b299c454cccb332087f3e7af8)
![{\displaystyle x={\tfrac {2}{5}}{\sqrt {15}}\cosh[{\tfrac {1}{5}}\operatorname {arcosh} ({\tfrac {5}{9}}{\sqrt {15}})]-{\tfrac {2}{5}}{\sqrt {15}}\sinh[{\tfrac {1}{5}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {5}{3}}{\sqrt {15}})].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1357d9ca0755770c254bd0551788c64e8b6634c5)
![{\displaystyle x^{5}+x={\frac {2}{5}}y^{-5/4}{\frac {(1+y-y^{2}){\sqrt {2+2y^{2}}}}{\sqrt[{4}]{10+15y-10y^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46c615090f5c8362778353d9f2a981c9231fa087)
![{\displaystyle x={\frac {2}{5}}y^{-1/4}{\sqrt[{4}]{10+15y-10y^{2}}}\cosh {\biggl (}{\frac {1}{5}}\operatorname {arcosh} {\biggl [}{\frac {5{\sqrt {5+5y^{2}}}}{(1+2y){\sqrt {4+6y-4y^{2}}}}}{\biggr ]}{\biggr )}-{\frac {2}{5}}y^{-1/4}{\sqrt[{4}]{10+15y-10y^{2}}}\sinh {\biggl (}{\frac {1}{5}}\operatorname {arsinh} {\biggl [}{\frac {5y{\sqrt {5+5y^{2}}}}{(2-y){\sqrt {4+6y-4y^{2}}}}}{\biggr ]}{\biggr )}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/305937243832dd4d83c1456abd40129555f3346c)
![{\displaystyle x={\frac {2}{5}}y^{-1/4}{\sqrt[{4}]{10+15y-10y^{2}}}\cosh {\biggl (}{\frac {1}{5}}{\text{arcosh}}{\biggl [}{\frac {5{\sqrt {5+5y^{2}}}}{(1+2y){\sqrt {4+6y-4y^{2}}}}}{\biggr ]}{\biggr )}-{\frac {2}{5}}y^{-1/4}{\sqrt[{4}]{10+15y-10y^{2}}}\sinh {\biggl (}{\frac {1}{5}}\operatorname {arsinh} {\biggl [}{\frac {5y{\sqrt {5+5y^{2}}}}{(2-y){\sqrt {4+6y-4y^{2}}}}}{\biggr ]}{\biggr )},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d60882461dbb650bb643c830c16841bd67ff1e7)
![{\displaystyle y={\frac {5\vartheta _{00}{\bigl (}q(\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}w)]^{2})^{5}{\bigr )}^{2}}{2\vartheta _{00}{\bigl (}q(\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}w)]^{2}){\bigr )}^{2}}}-{\frac {1}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae48e30d93056481525b53983315ce10b5c38b87)
![{\displaystyle w={\frac {2}{5}}y^{-5/4}{\frac {(1+y-y^{2}){\sqrt {2+2y^{2}}}}{\sqrt[{4}]{10+15y-10y^{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c837e58fd1d5a08b5c0aaac3f1507d9ad868d844)
![{\displaystyle {\bigl (}{\frac {2y^{5}-y^{6}}{1+2y}}{\bigr )}^{1/2}=\sin {\bigl (}2\arcsin {\bigl [}{\bigl (}50{\sqrt {5}}w^{2}+32+2{\sqrt {3125w^{4}+256}}{\bigr )}^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {3125w^{4}+256}}+16}}+5{\sqrt[{4}]{5}}w{\bigr )}{\bigr ]}{\bigr )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/494e098a18df2ea32b2c774b475035fd5a375ac7)
![{\displaystyle y={\frac {5\vartheta _{00}{\bigl (}q{\bigl [}{\bigl (}50{\sqrt {5}}w^{2}+32+2{\sqrt {3125w^{4}+256}}{\bigr )}^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {3125w^{4}+256}}+16}}+5{\sqrt[{4}]{5}}w{\bigr )}{\bigr ]}^{5}{\bigr )}^{2}}{2\vartheta _{00}{\bigl (}q{\bigl [}{\bigl (}50{\sqrt {5}}w^{2}+32+2{\sqrt {3125w^{4}+256}}{\bigr )}^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {3125w^{4}+256}}+16}}+5{\sqrt[{4}]{5}}w{\bigr )}{\bigr ]}{\bigr )}^{2}}}-{\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49b891be0966b37d90ac969ab5f74c10680da0b8)
![{\displaystyle q(\varepsilon )=\exp[-\pi K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})K(\varepsilon )^{-1}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/937e3823b2e35e9c43d82cc07d14b42c7ef3841e)
![{\displaystyle \operatorname {sl} (\varphi )=\tan {\biggl (}2\arctan {\biggl (}{\frac {4}{G}}\sin {\bigl (}{\frac {\varphi }{G}}{\bigr )}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cosh[(2k-1)\pi ]}{\cosh[(2k-1)\pi ]^{2}-\cos(\varphi /G)^{2}}}{\biggr )}{\biggr )};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08a48c354ab863e2ecb0fc3ef13d00a8e02c8c92)
![{\displaystyle \operatorname {cl} (\varphi )=\tan {\biggl (}2\arctan {\biggl (}{\frac {4}{G}}\cos {\bigl (}{\frac {\varphi }{G}}{\bigr )}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cosh[(2k-1)\pi ]}{\cosh[(2k-1)\pi ]^{2}-\sin(\varphi /G)^{2}}}{\biggr )}{\biggr )};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98fb3005608cf126078749c69236a15692fef9bc)
![{\displaystyle x={\frac {S{\bigl (}q(\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}){\bigr )}^{2}-R{\bigl (}q(\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}w)]^{2})^{2}{\bigr )}}{S{\bigl (}q(\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}w))^{2}){\bigr )}^{2}}}\times }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38be477c1343866618b2d69d5c89b1837382e931)
![{\displaystyle \times {\frac {1-R{\bigl (}q(\operatorname {ctlh} ({\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}w)]^{2})^{2}{\bigr )}S{\bigl (}q(\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}w)]^{2}){\bigr )}}{R{\bigl (}q(\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}w)]^{2})^{2}{\bigr )}^{2}}}\times }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cace35577f47a376f0e8e4b0da1417c7fa772109)
![{\displaystyle \times {\frac {\vartheta _{00}{\bigl (}q(\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}w)]^{2})^{5}{\bigr )}\vartheta _{00}{\bigl (}q(\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}w)]^{2})^{1/5}{\bigr )}^{2}-5\vartheta _{00}{\bigl (}q(\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}w)]^{2})^{5}{\bigr )}^{3}}{2{\sqrt[{4}]{20}}\operatorname {sl} {\bigl (}{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}w){\bigr )}\vartheta _{00}{\bigl (}q(\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}w)]^{2}){\bigr )}^{3}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b32b67e29837b1cbf789ef73c25c9e742790dea8)
![{\displaystyle x={\frac {S{\bigl (}q(\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}){\bigr )}^{2}-R{\bigl (}q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}^{2}{\bigr )}}{S{\bigl (}q(\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}){\bigr )}^{2}}}\times }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d962b6beb2e06f8c950109eb54411dd9883f567e)
![{\displaystyle \times {\frac {1-R{\bigl (}q(\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2})^{2}{\bigr )}S{\bigl (}q(\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}){\bigr )}}{R{\bigl (}q(\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2})^{2}{\bigr )}^{2}}}\times }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc1bd297ff3a97c08eaf05314c8e1f779c78f122)
![{\displaystyle \times {\frac {\vartheta _{00}{\bigl (}q(\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2})^{5}{\bigr )}\vartheta _{00}{\bigl (}q(\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2})^{1/5}{\bigr )}^{2}-5\vartheta _{00}{\bigl (}q(\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2})^{5}{\bigr )}^{3}}{2{\sqrt[{4}]{20}}\operatorname {sl} {\bigl (}{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}){\bigr )}\vartheta _{00}{\bigl (}q(\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}){\bigr )}^{3}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67b099a904ff5e42e362742a84d2275190648c32)
![{\displaystyle q(\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2})\approx 0,452374059450344348576600264284387826377845763909,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3905727af65e6b7bd6482eee0ab00b44ae9d60b7)
![{\displaystyle x={\frac {S{\bigl (}q(\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {35}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}){\bigr )}^{2}-R{\bigl (}q(\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {35}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2})^{2}{\bigr )}}{S{\bigl (}q(\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {35}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}){\bigr )}^{2}}}\times }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95980e496ce15ac7624c72aa4273d232b9c56fef)
![{\displaystyle \times {\frac {1-R{\bigl (}q(\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {35}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2})^{2}{\bigr )}S{\bigl (}q(\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {35}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}){\bigr )}}{R{\bigl (}q(\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {35}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2})^{2}{\bigr )}^{2}}}\times }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02661e5e3766cee2243ada282e378575dff4e03e)
![{\displaystyle \times {\frac {\vartheta _{00}{\bigl (}q(\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {35}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2})^{5}{\bigr )}\vartheta _{00}{\bigl (}q(\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {35}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2})^{1/5}{\bigr )}^{2}-5\vartheta _{00}{\bigl (}q(\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {35}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2})^{5}{\bigr )}^{3}}{2{\sqrt[{4}]{20}}\operatorname {sl} {\bigl (}{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {35}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}){\bigr )}\vartheta _{00}{\bigl (}q(\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {35}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}){\bigr )}^{3}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dd36a6c56e3da78ea27d9efa6186bf535112aa9)
![{\displaystyle q(\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {35}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2})\approx 0,53609630892200161460073096549143569900990236,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b220e3a5be7a567c56653489ef1df7871399fd54)
