Equazione di quinto grado

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Il grafico di un polinomio di quinto grado.

In matematica, si definisce equazione di quinto grado un'equazione polinomiale in cui il grado massimo dell'incognita è il quinto. Nella forma canonica, si presenta come

ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0,

dove x è la variabile incognita, e a, b, c, d, e e f sono numeri reali con a ≠ 0.

La ricerca delle soluzioni[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema fondamentale dell'algebra implica che ogni equazione di quinto grado abbia esattamente cinque soluzioni nei numeri complessi, se contate con molteplicità e, per vari secoli, la ricerca di una formula risolutiva per queste equazioni è stata uno dei problemi matematici più studiati.

Già nel sedicesimo secolo erano state scoperte formule che forniscono le soluzioni delle generiche equazioni di terzo e quarto grado in termini solo di somme, sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni e radicali dei coefficienti delle equazioni.

La ricerca di formule risolutive si è in seguito spostata verso le equazioni di quinto grado, ma il problema è rimasto insoluto sino a quando, nel 1824, Niels Henrik Abel completò una dimostrazione parziale di Paolo Ruffini, provando che una tale formula risolutiva non può esistere (tale teorema è noto come Teorema di Abel-Ruffini).

Negli anni seguenti Évariste Galois iniziò lo sviluppo della teoria di Galois, mettendo in relazione la solubilità per radicali di un'equazione con alcune proprietà di un gruppo di permutazioni delle radici associato all'equazione: più specificamente, si scoprì che un'equazione è risolubile per radicali se, e solo se, il gruppo di Galois associato ad essa è risolubile.

Tutti i gruppi di Galois associati a equazioni di grado inferiore al quinto sono risolubili e, dunque, tali equazioni sono tutte risolubili per radicali, mentre ciò non è sempre vero per le equazioni di grado quinto o superiore (ad esempio, il gruppo di Galois associato all'equazione x^5 - x + 1 = 0 non è risolubile e pertanto, tale equazione non è risolubile per radicali).

Per le applicazioni pratiche, tuttavia, non sono generalmente necessarie le soluzioni esatte di un'equazione, ma solo una loro approssimazione. Queste possono essere ricercate, con metodi numerici, quali i classici metodi per calcolare gli zeri di una funzione, o impiegando i più specifici metodi di Jenkins-Traub e di Laguerre.

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