Metodo di Laguerre

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Il metodo di Laguerre è un metodo iterativo per trovare le radici reali di un polinomio, introdotto dal matematico francese Edmond Nicolas Laguerre.

La formula per l'iterazione è:

 x_{k+1}=x_k -\frac{n P(x_k)}{P'(x_k)\pm\sqrt{(n-1)[(n-1)(P'(x_k))^2-nP(x_k)P''(x_k)}]} ,

dove x_0 è il valore iniziale scelto per innescare la procedura iterativa, P(x) è il polinomio, P'(x) è la sua derivata prima, P''(x) è la sua derivata seconda, n è il grado del polinomio P(x). Il segno scelto per la radice quadrata deve essere concorde a quello di P'(x_k) quando non nullo, per ottenere il rapporto minore.

Cambiando il valore iniziale di x_0 è possibile ricercare, se esiste, una radice reale diversa.

Esempio:
Sia P(x)=4x^4+3x^3-5x^2-4x+1
quindi P'(x)=16x^3+9x^2-10x-4
e P''(x)=48x^2+18x-10
Per x_0=0
x_1=0,1975496259559987...
x_2=0,2055025290836081...
x_3=0,2055031204717088...
x_4=0,2055031204717088...
per x_0=1
x_1=1,0755226110163770...
x_2=1,0756019089596258...
x_3=1,0756019089597004...
x_4=1,0756019089597004...

La convergenza del metodo di Laguerre è molto veloce.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

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