Funzioni theta

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In matematica, le funzioni theta di Jacobi sono funzioni speciali utili in analisi complessa.

Le funzioni \vartheta_1(z,q), \vartheta_2(z,q), \vartheta_3(z,q), \vartheta_4(z,q) sono stato introdotte dal matematico tedesco Carl Gustav Jakob Jacobi nella teoria delle funzioni ellittiche nel 1829. Sono rispettivamente definite con le serie:

 \vartheta_1(z,q)=2q^{1/4} \sum_{n=0}^\infty (-1)^n q^{n(n+1)} \sin[(2n+1)z],
 \vartheta_2(z,q)=2q^{1/4} \sum_{n=0}^\infty  q^{n(n+1)} \cos[(2n+1)z],
 \vartheta_3(z,q)=1+ 2\sum_{n=1}^\infty  q^{n^2} \cos (2nz),
 \vartheta_4(z,q)=1+ 2\sum_{n=1}^\infty (-1)^n q^{n^2} \cos (2nz),

dove  q \in \Bbb{R} e q<1. Le serie sono convergenti su tutto il piano complesso, cioè per ogni z \in \Bbb{C}.

L'importanza dei funzioni theta di Jacobi nella teoria delle funzioni ellittiche viene dalla possibilità di esprimere tutte le funzioni ellittiche di Jacobi come rapporto di due funzioni theta (vedi le formule 16.36.3-16.36.7 di Abramowitz e Stegun, e la prova di Whittaker e Watson).

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

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