Equazione lineare

Un'equazione lineare, o equazione di primo grado, è un'equazione algebrica di primo grado, dove cioè il grado massimo delle incognite è uno.

Equazioni lineari in una incognita

Quelle ad una sola incognita sono riconducibili (tramite le usuali regole dell'algebra elementare) alla cosiddetta forma normale:

$ax + b = 0$

dove $a$ e $b$ sono numeri reali o complessi.

Se $a \ne 0$ allora trasportando $b$ a secondo membro e dividendo per $a$ si ottiene:

$x = -\frac{b}{a}$

L'equazione di primo grado ammette dunque una e una sola soluzione, pari a $-\tfrac{b}{a}$.

Se invece $a=0$ allora l'equazione può essere impossibile o indeterminata.

Se infatti $b=0$ allora $x = -\tfrac{0}{0}$, divisione di risultato indeterminato. Per questo anche l'equazione è detta indeterminata e il suo insieme delle soluzioni coincide con il dominio.

Ma se fosse $b \ne 0$ risulterebbe $x = -\tfrac{b}{0}$, il che è impossibile. L'equazione è quindi detta impossibile perché non ha soluzioni: il suo insieme delle soluzioni è infatti vuoto.

Equazioni lineari in più incognite

Più in generale, un'equazione lineare in $n$ incognite $x_1$, $x_2$, ..., $x_n$ è riconducibile alla forma:

$a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_nx_n + k = 0$

In geometria analitica, un'equazione lineare a due incognite (scritta in genere nella forma $y = mx + q$ oppure $ax + by + c = 0$) rappresenta una retta nel piano cartesiano. Nello spazio a tre dimensioni, un'equazione in tre incognite della forma $ax + by + cz + d = 0$ rappresenta un piano. In generale, nello spazio euclideo n-dimensionale, l'insieme delle soluzioni di un'equazione lineare in n incognite rappresenta un iperpiano, cioè uno spazio ad n - 1 dimensioni. Allo stesso modo un'equazione lineare ad una sola incognita rappresenta un semplice punto.

Voci correlate

• Equazione quadratica
• Equazione diofantea di primo grado
• Retta

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