Equazione lineare

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Un'equazione lineare, o equazione di primo grado, è un'equazione algebrica di primo grado, dove cioè il grado massimo delle incognite è uno.

Equazioni lineari in una incognita[modifica | modifica sorgente]

Quelle ad una sola incognita sono riconducibili (tramite le usuali regole dell'algebra elementare) alla cosiddetta forma normale:

ax + b = 0

dove a e b sono numeri reali o complessi.

Se a \ne 0 allora trasportando b a secondo membro e dividendo per a si ottiene:

x = -\frac{b}{a}

L'equazione di primo grado ammette dunque una e una sola soluzione, pari a -\tfrac{b}{a}.

Se invece  a=0 allora l'equazione può essere impossibile o indeterminata.

Se infatti  b=0 allora x = -\tfrac{0}{0}, divisione di risultato indeterminato. Per questo anche l'equazione è detta indeterminata e il suo insieme delle soluzioni coincide con il dominio.

Ma se fosse  b \ne 0 risulterebbe x = -\tfrac{b}{0}, il che è impossibile. L'equazione è quindi detta impossibile perché non ha soluzioni: il suo insieme delle soluzioni è infatti vuoto.

Equazioni lineari in più incognite[modifica | modifica sorgente]

Più in generale, un'equazione lineare in n incognite x_1, x_2, ..., x_n è riconducibile alla forma:

a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_nx_n + k = 0

In geometria analitica, un'equazione lineare a due incognite (scritta in genere nella forma y = mx + q oppure ax + by + c = 0) rappresenta una retta nel piano cartesiano. Nello spazio a tre dimensioni, un'equazione in tre incognite della forma  ax + by + cz + d = 0 rappresenta un piano. In generale, nello spazio euclideo n-dimensionale, l'insieme delle soluzioni di un'equazione lineare in n incognite rappresenta un iperpiano, cioè uno spazio ad n - 1 dimensioni. Allo stesso modo un'equazione lineare ad una sola incognita rappresenta un semplice punto.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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