Equazione di secondo grado

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In matematica, un'equazione di secondo grado o quadratica è un'equazione algebrica ad una sola incognita x che compare con grado pari a 2, e la cui formula è riconducibile alla forma:

ax^2 + bx + c = 0\qquad\mbox{ (con } a \ne 0 \mbox{)}.

Per il teorema fondamentale dell'algebra, le soluzioni (dette anche radici o zeri dell'equazione) delle equazioni di secondo grado nel campo complesso sono sempre 2 eventualmente coincidenti. Nel campo reale invece le equazioni quadratiche possono ammettere 2 soluzioni, eventualmente coincidenti, oppure nessuna soluzione.

Sono poi particolarmente semplici da risolvere le cosiddette equazioni incomplete, dove alcuni coefficienti sono pari a zero.

Il grafico della funzione

f(x) = ax^2 + bx + c

nel piano cartesiano è una parabola. La concavità di suddetta parabola dipende dal segno di a. Più precisamente: se a>0 la parabola avrà la concavità rivolta verso l'alto se a<0 la parabola avrà la concavità rivolta verso il basso.

Cenni storici[modifica | modifica wikitesto]

Gli antichi babilonesi lasciarono nelle tavolette di argilla le prime testimonianze della scoperta delle equazioni quadratiche e trovarono le prime tecniche per risolverle. Il matematico indiano Baudhāyana, che scrisse un Shulba Sutras nell'antica India all'incirca nell'VIII secolo a.C. usò per primo equazioni quadratiche della forma ax^2=c e ax^2+bx=c, indicando i metodi per risolverle.

I matematici babilonesi (intorno al 400 a.C.) e cinesi utilizzarono il metodo del completamento del quadrato per risolvere varie equazioni quadratiche con radici positive, ma non ottennero una formula generale. Euclide descrisse un metodo geometrico più astratto intorno al 300 a.C. Il manoscritto di Bakshali, scritto in India fra il 200 a.C. ed il 400 d.C., introdusse la formula risolutiva delle equazioni quadratiche.

Il primo matematico noto ad aver usato la formula algebrica generale, consentendo sia le soluzioni positive che quelle negative, fu Brahmagupta (India, VII secolo). Al-Khwarizmi (BagdĀd, IX secolo d.C) sviluppò indipendentemente un insieme di formule che funzionava per le soluzioni positive. Abraham bar Hiyya Ha-Nasi (conosciuto anche con il nome latino Savasorda) fu il primo ad introdurre in Europa la soluzione completa con il suo Liber embadorum.

La priorità della scoperta della formula generale per risolvere un'equazione quadratica è stata attribuita a Sridhara, sebbene ai suoi tempi vi sia stata una disputa. La regola (come riportata da Bhaskara II) è:

Moltiplica entrambi i membri dell'equazione per una quantità nota uguale a quattro volte il coefficiente del quadrato dell'incognita; aggiungi ad entrambi i membri una quantità nota uguale al quadrato del coefficiente dell'incognita; quindi determina la radice quadrata.[1]

Equazioni quadratiche incomplete[modifica | modifica wikitesto]

Equazione spuria[modifica | modifica wikitesto]

Si dice spuria un'equazione quadratica che manca del termine noto, ossia avente la forma:

ax^2 + bx = 0

Un'equazione di questo tipo si risolve facilmente tramite scomposizione:

x(ax + b) = 0

Per la legge di annullamento del prodotto quest'equazione è equivalente alle due:

x_1 = 0 \mbox{ e } ax_2 + b = 0

E in definitiva le sue soluzioni sono

x_1 = 0 \mbox{ e } x_2 = -\frac{b}{a}

Equazione pura[modifica | modifica wikitesto]

Si dice equazione quadratica pura un'equazione polinomiale di secondo grado che manca del termine di primo grado, cioè che è della forma:

ax^2 + c = 0.

Portando c al secondo membro e dividendo per a si ottiene:

x^2 = -\frac{c}{a}.

Se -\tfrac{c}{a} <0 , non ammette soluzioni nel campo reale, in quanto non esistono numeri reali che sono radici quadrate di un numero negativo (per esempio \sqrt{-4}) bensì esistono due soluzioni nel campo dei numeri complessi.

Se -\tfrac{c}{a} > 0 , l'equazione è risolta da:

x_{1,2} = \pm \sqrt{-\frac{c}{a}}.

Equazione monomia[modifica | modifica wikitesto]

Si dice equazione monomia un'equazione quadratica nella quale b = 0 e c = 0, dunque nella forma ax^2=0. In questo caso l'equazione ammette come soluzione doppia x_1= x_2 = 0

Equazioni complete e formula risolutiva generale[modifica | modifica wikitesto]

Un'equazione polinomiale di secondo grado viene detta equazione quadratica completa quando tutti i suoi coefficienti sono diversi da 0. Essa viene risolta con il cosiddetto metodo del completamento del quadrato, così chiamato perché si modifica l'equazione fino ad ottenere al suo primo membro il quadrato di un binomio nella forma (A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 .

Anzitutto portiamo c al secondo membro:

ax^2 + bx = -c

Moltiplichiamo per 4a entrambi i membri, ottenendo:

4a^2x^2 + 4abx  = -4ac

Notiamo che

4a^2x^2 = (2ax)^2

e che

4abx = 2 \cdot (2ax) \cdot b

dunque possiamo considerare il termine 2ax come la A della formula del quadrato di binomio e 4abx come il doppio prodotto 2AB dove la B è uguale a b, dunque, per fare in modo che al primo membro si abbia un quadrato di binomio, sommiamo ad ambo i membri dell'equazione b^2:

4a^2x^2 + 4abx + b^2 = b^2 - 4ac

ovvero:

(2ax + b)^2 = b^2 - 4ac

Il secondo membro di quest'equazione è detto discriminante e in genere viene indicato con la lettera greca \Delta (Delta). Se b^2 - 4ac è negativo non ci sono soluzioni reali, dal momento che il primo membro, essendo un quadrato, è sempre maggiore o uguale a 0. In caso contrario, possiamo scrivere:

2ax + b = \pm \sqrt{b^2 - 4ac}

che con semplici passaggi possiamo riscrivere come:

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Quest'ultima è nota come formula risolutiva delle equazioni di secondo grado.

Calcolo delle soluzioni[modifica | modifica wikitesto]

Alla luce della dimostrazione precedente, è chiaro che, nella risoluzione di un'equazione quadratica, è anzitutto necessario calcolare il discriminante \Delta = b^2 - 4ac .
Si distinguono tre casi:

  • Se \Delta > 0, vi sono due soluzioni reali e distinte:
    x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}
    x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}
  • Se \Delta = 0, la formula risolutiva diventa:
    x_{1,2} = \frac{-b \pm 0}{2a} = -\frac{b}{2a}
    Pertanto le due radici sono coincidenti: x_1=x_2 .
  • Se \Delta < 0, infine, l'equazione non ha soluzioni reali. In particolare le soluzioni sono sempre due, ma appartengono al campo dei numeri complessi, esse sono due numeri complessi coniugati e si calcolano tramite le due formule:
    x_+ = \frac{-b}{2a} + i \left ( \frac{\sqrt {4ac - b^2}}{2a} \right )
    x_- = \frac{-b}{2a} - i \left ( \frac{\sqrt {4ac - b^2}}{2a} \right ),
    dove i è l'unità immaginaria (i^2=-1).

Interpretazione geometrica[modifica | modifica wikitesto]

Per la funzione quadratica: f(x)=x^2-x-2=(x+1)(x-2), di una variabile reale x, le ascisse dei punti dove il grafico tocca l'asse X, x=-1 e x=2, sono le radici dell'equazione quadratica: x^2-x-2=0.

Le radici dell'equazione quadratica

ax^2+bx+c=0,

sono anche i punti in cui la funzione

f(x) = ax^2+bx+c

assume valore nullo, dal momento che essi sono i valori di x per cui

f(x) = 0.\,

Se a, b e c sono numeri reali ed il dominio di f è l'insieme dei numeri reali, allora gli zeri di f sono esattamente le ascisse dei punti dove il grafico di f tocca l'asse x.

Dalle considerazioni precedenti, si deduce che, se il discriminante è positivo, il grafico interseca l'asse delle ascisse in due punti; se è nullo, il grafico è tangente all'asse x in un punto; se è negativo, il grafico non tocca mai l'asse x.

Forma ridotta della formula risolutiva[modifica | modifica wikitesto]

La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado può essere "semplificata" moltiplicando per \tfrac{1}{2} il denominatore e il numeratore

\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-\frac{1}{2}b \pm \frac{1}{2}\sqrt{b^2 - 4ac}}{a} = \frac{-\frac{b}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac}}{a}

e applicando la sostituzione t=\tfrac{b}{2}

\frac{-\frac{b}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac}}{a} = \frac{-t \pm \sqrt{t^2 - ac}}{a}

Questa formula può risultare comoda quando il coefficiente dell'incognita di primo grado dell'equazione, b, è un numero pari, quindi divisibile per due.

Relazioni tra radici e coefficienti[modifica | modifica wikitesto]

Poniamo s uguale alla somma delle due soluzioni dell'equazione quadratica e p il loro prodotto, quindi s = x_1 + x_2 e p = x_{1}x_2. Sommando membro a membro le due soluzioni abbiamo:

s = x_1 + x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} + \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a}

Effettuando invece il prodotto membro a membro abbiamo:

p = x_{1}x_2 = \frac{(-b - \sqrt{b^2 - 4ac})(-b + \sqrt{b^2 - 4ac})}{4a^2} = \frac{(-b)^2 - (\sqrt{b^2 - 4ac})^2}{4a^2} = \frac{b^2 - b^2 + 4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}

Queste due relazioni ci consentono di determinare somma e prodotto delle radici senza risolvere l'equazione; esse sono un caso particolare delle formule di Viète. Inoltre, se riscriviamo la generica equazione di secondo grado nella cosiddetta forma normale, cioè dividendo ambo i termini per a:

x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0

con banali sostituzioni si ottiene la forma:

x^2 - sx + p = 0

Meno usata ma altrettanto importante è la relazione:

|x_1 - x_2|=\frac {\sqrt{b^2 - 4ac}} {|a|}

dimostrabile attraverso semplici passaggi algebrici.

Scomposizione in fattori del trinomio[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo il polinomio completo di secondo grado:

ax^2 + bx + c

e supponiamo anche che il discriminante, dell'equazione che si ottiene uguagliando a zero il polinomio, sia positivo (ipotesi non necessaria nel campo dei numeri complessi). Raccogliendo a si ottiene:

a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right)

Abbiamo già trovato prima che x_1 + x_2 = -\tfrac{b}{a} e x_{1}x_2 = \tfrac{c}{a}. Dunque:

\begin{align} a\left(x^2  -(x_1 + x_2)x + x_{1}x_2\right) &= a\left(x^2 - x_{1}x - x_{2}x + x_{1}x_2\right) \\ & = a(x(x - x_1) - x_{2}(x - x_1)) \\  & = a(x - x_1)(x - x_2) \end{align}

Pertanto è possibile scomporre un polinomio di secondo grado in due binomi di primo grado calcolando le soluzioni dell'equazione data dal polinomio eguagliato a zero:

ax^2 + bx + c =a(x - x_1)(x - x_2).

Se il \Delta=0 l'equazione associata ha due soluzioni reali coincidenti e quindi la scomposizione del trinomio di secondo grado può essere così riscritta:

ax^2 + bx + c =a(x - x_1)^2.

Regola dei segni[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Regola dei segni di Cartesio.

La regola dei segni o regola di Cartesio consente di determinare il segno delle radici di un'equazione completa con discriminante non negativo. Consideriamo, nell'ordine, i segni di a, b e c. Possiamo assumere che sia a > 0, a meno di moltiplicare entrambi i termini per -1. Ci sono 4 possibili combinazioni:

a b c
+ + +
+ + -
+ - +
+ - -
  1. Primo caso:  a, b, c > 0. Ricordando che x_1 + x_2 = -\tfrac{b}{a} e x_{1}x_2 = \tfrac{c}{a}, segue che il loro prodotto è positivo e la loro somma negativa, per cui entrambe le soluzioni sono negative.
  2. Secondo caso:  a, b > 0 e  c < 0. Allora il prodotto delle radici è negativo (che implica che sono discordi) e la somma è negativa (che implica che la soluzione negativa è in valore assoluto maggiore di quella positiva).
  3. Terzo caso:  a, c > 0 e  b < 0. Allora il prodotto delle radici è positivo come pure la loro somma, implicando che entrambe le radici sono positive.
  4. Quarto caso:  a > 0 e  b, c < 0. Allora il prodotto delle radici è negativo (che implica di nuovo che sono discordi) ma la somma è positiva (dunque la soluzione positiva è maggiore in valore assoluto).

Chiamando permanenza ogni successione di due segni uguali e variazione ogni successione di segni contrari, possiamo riassumere i risultati precedenti affermando che ad ogni permanenza corrisponde una soluzione negativa e ad ogni variazione una soluzione positiva; quando le radici sono discordi, in valore assoluto è maggiore quella positiva se la variazione precede la permanenza; quella negativa se la permanenza precede la variazione.

Esempio di risoluzione tramite completamento del quadrato[modifica | modifica wikitesto]

Sia

f(x) = x^2 + 3x + 2 = 0

allora

(x^2+3x +\tfrac{9}{4}) - \tfrac{9}{4} + 2 = 0
(x + \tfrac{3}{2})^2 - \tfrac{9}{4} + 2 = 0
(x + \tfrac{3}{2})^2 = \tfrac{1}{4}

da cui

  1. x + \tfrac{3}{2} = \tfrac{1}{2}   \iff  x_1 = -1
  2. x + \tfrac{3}{2} = -\tfrac{1}{2}   \iff  x_2 = -2

A questo punto è possibile disegnare il grafico di f(x), traslando la parabola associata a y=x^2 di -3/2 lungo l'asse x e di -1/4 lungo l'asse y.

Metodo del resto[modifica | modifica wikitesto]

Ad alcune equazioni possono essere applicati metodi diversi per trovarne le radici. Si usa il teorema del resto di Ruffini, si controllano i divisori possibili del termine noto c e si prendono una volta + e una volta -, poi considerando la formula del teorema del resto di Ruffini (x-y), possiamo subito sapere che x=y, e che sostituendo la y nell'equazione al posto della x possiamo verificare il resto che ci darà il polinomio diviso con (x-y), se è 0 allora (x-y) sarà il nostro divisore, dove una soluzione dell'equazione è y. A questo punto si può trovare l'altra soluzione in due modi:

Ruffini:

Applichiamo la divisione di Ruffini o il metodo Canonico per avere un binomio dove il termine noto cambiato di segno sarà la nostra seconda soluzione..

(ax^2+bx+c):(x-y)=(x-z) \Longrightarrow x=z;

Quindi: x_1=y; x_2=z;

Metodo delle radici:

Sapendo che:

-\frac{b}{a}=x_1+x_2;

E che:

 \frac{c}{a}=x_1x_2;

Avendo la prima soluzione trovata dal metodo visto sopra del teorema del resto di Ruffini, possiamo trovare la seconda soluzione in modo più breve senza applicare la divisione in questi due modi:

 x_2=\frac{c}{ax_1};


 x_2=-\frac{b}{a}-x_1;

Vale anche viceversa.

Casi particolari[modifica | modifica wikitesto]

Un caso particolare in cui si hanno uniche soluzioni è quando dalla formula completa dell'equazione quadratica si ha che |b|=|c|+1; e a=1;.

In questo caso le soluzioni saranno x_1=\pm1 ed x_2=-c e si vedrà che il delta sarà un quadrato perfetto, mentre il segno di x_1 è uguale al segno di -c quindi se c<0 allora x_1=1 se invece c>0 allora x_1=-1.

Altri due casi sono a+c = -b oppure a+c=b.

Nel primo caso le soluzioni saranno x_1=+1 ed x_2=\frac{c}{a}, mentre nel secondo caso le soluzioni saranno  x_1=-1 ed x_2=-\frac{c}{a},.

Formula alternativa[modifica | modifica wikitesto]

In certe situazioni è preferibile esprimere le radici in una forma alternativa.

x =\frac{2c}{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}

Tuttavia, questa formula è corretta solo con la condizione aggiuntiva che c non sia nullo. Se c=0, questa formula fornisce correttamente la soluzione x=0, ma non consente di ottenere la radice diversa da zero (dal momento che si otterrebbe la divisione 0/0, che non è definita).

Naturalmente, i valori delle due radici risultano uguali indipendentemente che si usi la formula "classica" o quella alternativa, che è in effetti una semplice variante algebrica della prima:

\begin{align}
\frac{-b + \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}& = \frac{\left ( -b + \sqrt {b^2-4ac\ } \right ) \left ( -b - \sqrt {b^2-4ac\ } \right )}{2a \left ( -b - \sqrt {b^2-4ac\ } \right )} \\
&= \frac{4ac}{2a \left ( -b - \sqrt {b^2-4ac} \right ) } \\
&=\frac{2c}{-b - \sqrt {b^2-4ac\ }}.
\end{align}

Un'attenta implementazione su un calcolatore dotato di operazioni in virgola mobile differisce da entrambe le formule per garantire la robustezza del risultato. Assumendo che il discriminante sia positivo e b diverso da 0, si può usare codice come il seguente:

\begin{align}
t :&= -\left( b + \sgn(b) \sqrt{b^2-4ac}\right) /2 \\
r_{1} :&= t/a \\
r_{2} :&= c/t
\end{align}

dove sgn(b) denota la funzione segno, che vale +1 se b è positivo e −1 se b è negativo; questo accorgimento assicura di sommare due quantità dello stesso segno, evitando l'eventuale perdita di precisione. Il calcolo della seconda radice r2 sfrutta il fatto che il prodotto delle radici è uguale a c/a.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Sridhara summary

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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